※ 引述《PROQC (跑步去)》之铭言： : 1.年级：高一 : 2.科目：数学 : 3.章节：指数率 : 4.题目： 是非题 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0 : 答案是(错) : 5.想法：我知道有理指数的底数不可为负 : 但我计算的结果: : 1.(-2)6次方 = 64 : 2.(根号2*i)12次方 = 64*1 = 64 : 3.[ (-2)2/4次 ] 12次方 = (4次根号4)12次方=64 : 都是 64 > 0 : 想请教的:此题是直接说底数不可为负所以错 ? : 还是有其他的计算方式可以写出不大於0的结果 ? : ，请各位高手解惑，谢谢。 首先针对前篇推文中，我一再使用的"指数函数"用词不当，造成讨论上的困扰而道歉 因为这边我们只需要讨论"指数"及相关的"指数定律"成立与否 condensed 大大说的对 "如果不允许默认某些前提及合理语境，我想国高中一半以上的数理问题 你都能说是错的" 我们在回答任何一个问题前 问问题的人，与回答问题的人皆须要先确定好我们身处在什麽立足点 我们一致拥有的前提、背景、认知等等是什麽 而此题既然是出在高中教材中 自然默认我们所根据的知识仅为高中三年中会学到的教材去做讨论 在高中各个版本的课本中 皆提到下面的事实 (以下以手边有的康熙版本为例子叙述) " a^(1/n) 的定义 : 当 a 为正实数，且n为正整数时， a^(1/n) = a 开n次根号 ^^^^^^^^^^^^^ 指 n √(a) " 因此扩张到任意有理数的指数为 " a^(m/n) 的定义： 当 a 为正实数，且n是正整数，m是整数时， a^(m/n) = ( a ^(1/n) ) ^ m " 依照上述对指数的认识 此题 : 4.题目： 是非题 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0 : 答案是(错) 答案之所以不能选，完全仰赖我们不允许指数是有理数时，底数是负实数 : 5.想法：我知道有理指数的底数不可为负 : 但我计算的结果: : 1.(-2)6次方 = 64 此步骤的问题在， 当a = -2 < 0 , n = 1/2 in Q 时 a^n 本身即不合定义了， (a^n)^12 = a^(n*12) 此指数律根本就有问题 : 2.(根号2*i)12次方 = 64*1 = 64 根号2*i = 根号(-2) , 而 (-2)^(1/2) 并没有定义成 根号(-2)，所以有问题 : 3.[ (-2)2/4次 ] 12次方 = (4次根号4)12次方=64 同样地，底数为负的时候，未定义，因此此式依然有问题 : 都是 64 > 0 并且依照这样的认知下 我们也不应该遇到已经学完复数极式的高三孩子 找我们说:老师，你高一教的是错的。 因为高三的复数极式都是在问 " 求 x^2 = -1 的根 " 而非问 " (-1)^(1/2) 为何? " 不过 如同前面讨论的 当我们的知识领域扩充到复变数函数中 此定义问题也已经有所解决 故此问题在适当的代数结构下，自然是正确(?) (这我不敢肯定，因为复数底数的指数之定义，我只有皮毛认识) 因此对於这题目要如何教导学生 我就是主张 我们要先跟学生确定好我们在什麽数学架构下去讨论 当然学生不会懂我说什麽 所以该对学生说明 " 在高中课程的范畴中，因为定义的问题，这个选项不应该选 然而到了未来我们拥有更多的知识背景以後，这个选项却是合理可计算的 " 这也是为什麽我要说不应该是正确的 因为我们不同人在判断这个问题上，会有认知的出入，当我们没有好好地先澄清背景的数 学架构时，这个问题根本没有对与错的分别 如同我前面所举的例子，凭什麽大家都同意不反对 "1+1=0 是错误的" 的这个叙述? 还不是因为我们都彼此默认此时的加法是 over R 如果我不先接受这样的默认 我也可以大声地喊着大家都错了 所以我不能理解 我为什麽不能在彼此同意此问题是成立於高中数学范畴的前提下 而判断此选项不正确 再者 对於此题目在出考题上的适切性 我在一开始原PO的推文就说了我没有要探讨 但是不可否认的 这是一种机会 可以帮助学生体会 数学问题都是建立在各种公设之上才能进行讨论的东西 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 111.251.6.198 看来看去，您应该还是没有翻阅正式课本是如何撰写这部份 首先，看了许多课本以後确实发现没有一本书有提到或写到 如 : 27^(2/(-3)) 即有理数指数，分母取负整数之状况 但是 课本 ( 全华、龙腾 ) 却有提到一件事 " 因为有理数的表示法不唯一，而所有的有理数都可以写为 m/n 的型式，其中 m 为整数，n 为正整数 " 据此说明加上书中的定义方式，老师可以做下面的解读并教导学生 由於高中生都可以接受有理数可以扩分，并其值相等 即 2/(-3) 本质上与 (-2)/3 是相等的 ...... 这边可以说是扩分乘上 -1 倍 而此事实在我们习惯的实数系或是有理数系早已成立 ( 因为我们能在有理数系中定义出等价类，而 2/(-3) 与 (-2)/3 在同一个等价类 ) 故尽管未定义 ( 事实上也不需要 ) 27^(2/(-3)) 但因为 2/(-3) = (-2)/3 因此 27^(2/(-3)) = 27^((-2)/3) ... 因为有理数间的等价关系 = (27的三次根号)^(-2) ... 由定义 = 1/9 ----------------------------------------------------------------------------- 希望你不要再问我 既然可以算 那一开始的定义就不要限定 n 一定要正整数，而改成整数就好了 的问题 → jollic:我不懂你上面的疑惑是一种激问法，还是专业度需要强化而问 11/07 14:15 接着回答 当指数推广到有理数後，为什麽需要限定底数为正 而关於这个问题 目前我只有看到南一课本有正式写进课文中，而非其他版本只是放进教师手册甚至是 没有提到这部分的讨论 南一课本从一开始推广指数从正整数到整数的时候 即用上了两个字 "坚持" 说 : 在指数的推广时，我们坚持指数定律需保持不变 ( 在这边我还记得当年微积分教授也说过，指数函数被创造出来有一个原因是想找找看 有没有什麽函数可以满足 f(x+y) = f(x) * f(y) 的性质 ) ** 注: 指数定律是 (1) a^m * a^n = a^(m+n) (2) (a^m)^n = a^(mn) (3) (ab)^m = a^m * b^m 基於这个观点 若是我们推广指数到有理数时，也允许底数为负的话 会发生如 i = sqrt(-1) ... 虚数 i 的定义 = (-1) ^ (1/2) ... 前述有理数指数定义，去除底数限制 = (-1) ^ (2/4) ... 有理数的等价关系 = ( (-1)^2 ) ^ (1/4) ... 指数定律 = ( 1 ^ 2 ) ^ (1/4) ... 正整数指数 = 1 ^ (2/4) ... 指数定律 = 1 ^ (1/2) ... 有理数的等价关系 = sqrt(1) ... 有理数指数 = 1 矛盾出现 是故，在此我们希望去限制底数只能为正实数，以避免指数定律的不成立。 当然，有没有好的办法让底数不要受限，又能让指数定律成立? 课本告诉学生，高中阶段尚不讨论。 (据我们所知，一种解决方法即进入复变数函数的世界处理，这部分当然就太深了。) 从上面的课程布局来看 我也就不懂为什麽会有学完极式的高三学生跑来说高一教错了的不一致行径。 就以您提的例子来说明好了 : 令 x = (-2)^(1/2) : 则 x^2 = -2 => x = √2 i or -√2 i （详见99课纲选修上册复数极式） ^^^^ "则" 字在数学用语中，即含有 " 推论 " 的意思 而上面的两句话，也就是代表 if x = (-2)^(1/2), then x^2 = -2 . 这部份，因为指数定律已经无法使用 那我们究竟要依据什麽理由才能做出这个推论 ? : case 1. x = √2 i，则 x^12 = 64 > 0 （此过程是有问题的） : 复数的次方还是复数，此时无法用来比大小。 : case 2. x = -√2 i，则 x^12 = 64 > 0 （此过程是有问题的） : 复数的次方还是复数，此时无法用来比大小。 --- : 我前面讲的是是否有某个东西的平方是-2 : : 学生会不会有这样的疑问： : : 为什麽"x = (2)^(1/2) => x^2 = 2"对， : : 而"x = (-2)^(1/2) => x^2 = -2"却错？ 在现行的定义下，指数定律在底数为负的时，会出现问题。 : 或者有这样的疑问： : : 为什麽"x = (2)^(1/2) => x = √2"对， : : 而"x = (-2)^(1/2) => x = √2 i"却错？ 在现行的定义下，指数定律在底数为负的时，会出现问题。 --- : 这边值得注意的一点是， : : 课纲中提到底数为正的情况在於指数函数(而且还不能是1)，而非指数运算，: 帮补课纲原文： 要介绍指数函数（底数a>0,a≠1）的图形与性质，包括：值域、单调性（严 格递增、严格递减）与凹凸性，这里凹凸性仅做割弦在函数图形上方的直观介绍 即可。主要的指数函数为2^x 及10^x 。 : 因此学生会不会有这样的疑问： : : 既然指数底数在高中课程为正， : : 那为什麽"2^2 = 4 "对， "(-2)^2 = 4"也对？ 由课纲的叙述可见，只考虑底数为正显然是针对介绍指数函数的图形时所用。 : 又为什麽"[2^(1/2)]^2 = 2"对，而"[(-2)^(1/2)]^2 = -2"却错了？ ^^^^^^^^^^^^^^^^^ 同上理由，指数定律在底数为负的时候 会出现问题，是故无法使用 : 但实际上真的是错的吗？ 实际上，是对是错，才疏学浅我也不敢肯定，但至少我从彻尾都没说过"错" 只会告诉学生，在现行的数学架构下这部份会有一些我们还没办法处理的问题，等到 以後学得更多，有了能力之後，才能做适当的判断。 但如果学生认为 "不选择" = "错" 那千万要机会教育，不让学生只会二分法 ---- 即不是对，就是错。 最後，如果要问，为什麽要坚持指数定律成立，以小弟我个人的解读 (不一定正确) 1. 满足指数定律的性质是创造指数的动机之一。 2. 高中课程中，我没有看见一定非要定义如 (-1)^(1/2) ，底数小於0时候的 有理数指数之後，才能够解决的问题 (满足求知欲当然另当别论)。 3. 小弟才疏学浅，尚不能理解课本编辑的教授们之用意。 4. 其他各种我没想到的原因。 以上 ※ 编辑: jollic 来自: 114.25.174.213 (11/08 21:48) ※ 编辑: jollic 来自: 114.25.174.213 (11/08 21:55)