「a 和 72 的最大公因数是 9 」 当题目里出现这句话的时候，它其实在提示两件事，哪两件呢？ 很多学生都会有这种困惑： 为什麽「明明有听懂，考试却还是错」？ 其实可以这麽说，他们的确有听懂一些东西， 但是他们听懂的这些，并不是真正需要学的。 也就是说，数学并不是真的有这麽难到，让大家都听不懂，而是大多数的人学错东西了。 先来解答上面那题：http://0rz.tw/l5xrF 「a 和 72 的最大公因数是 9 」 ==> 1. a 是 9 的倍数 ( a可写成 9 x @ ) 2. @ 与 8 互质 1. & 2. ==> a 是 9 的倍数，但不是 2 的倍数 「听懂」有分三个层次， 第一层是，听老师说的，觉得很有道理 -- 其实这样只能算是「上课有在听」而已，根本不算听懂；老师讲得话当然很有 道理，你要是会觉得老师讲的话错误一大堆，那说不定还比较厉害一点…… 第二个层次是，学会一个题目 或 题型 -- 大部份学生的「听懂」都是这个类型的，但这样也只是「知道这题怎麽做」而 已，题目要是有了变化，要不然你会没发现、要不然你发现了却不知道该怎麽做。 学生在听课的时候、老师在教课的时候，应该要追求的是第三个层次的「听懂」， 也就是 「搞懂 "为什麽 "要这样做」以及「"我怎麽想得到" 要这样做」 用国一上第二章「因数倍数」来说明这个问题是再适合不过了，为什麽呢？ 因为这一章的问题，十题里有六题 「要不就是跟 "最大公因数 ( , ) " 有关， 要不就是跟 "最小公倍数 [ , ] " 有关」。 学生如果只是「听老师讲解的时候，觉得很有道理」； 轮到他写题目的时候，多半只会记得「首先要开短除法」 -- 但其实他连为什麽要这样做都不知道。 因为国小的课程进度比较慢、所以短除法练习得很多、 在上课的时候看到老师解题又好像都一直在取 ( , ) 或 [ , ] ， 如果只是「听了有懂」的话，很容易只学到「要取 ( , ) 或 [ , ]」这件事； 甚至他短除法开到一半，也不清楚是要取 ( , ) 还是 [ , ] ， 所以根本不知道该不该停下来…… 如果是「学会题目怎麽算」的学生，或许不会有这样的问题； 但是，一则是题目如果又变化、变成他没看过的，在解题时就很容易错； 另外一个问题是， 数学有这麽多题型，怎麽记得完？ 现在是刚学完、所以还记得，将来复习的时候、考会考的时候，还能记清这些吗？ 以下我列了几项学习的重点，这些重点，都是学生在听老师讲解题目的时候， 除了「有听懂」、「有记得题型」之外， 应该要主动询问、主动学起来的「为什麽要这要做」。 1. 「为什麽要取 ( , ) 或 [ , ] 」？ 其实许多题目，都不是在问「最大」公因数，或「最小」公倍数；但计算过程中，仍然 会去取这两者其中之一，这是因为： 「 A、B、C 所有的公因数，都是他们 "最大公因数 ( , ) " 之因数」 「 A、B、C 所有的公倍数，都是他们 "最小公因数 [ , ] " 之倍数」 这两个讲起来有点饶舌的观念，非常的基本； 但学生往往没去想清楚、老师往往没说明，题目一拿来就开始算了； 这会导致学生「越写越心虚」 -- 因为他隐约觉得，好像不是在问这个，但又好像记得老师是这样算的。 ex: 在 1000 ~ 2000之中，52、65 的公倍数有几个？ 看到这个问题，如果学生还会因为 「哇呜，一千多欸……」而却步的话，或是困惑於 「我怎麽知道，哪些是 52、65 的公倍数 -- 一个一个抓来除吗」？ 那他就没有把上面讲的这个知识吸收进来： 52、65 的公倍数，不论多大，都会是他们「最小公倍数 的 倍数」， 所以我们只要先找到 [ 52 , 65 ] = 260 ； 那麽，他们的公倍数，都会是 260 的倍数， 1000 ~ 2000 之间， 260 的倍数只有四个而已 ^^ 2. 因数倍数的应用问题，有两个步骤要思考： A 先找寻「相同的」东西 B 想清楚，这个「相同的」东西，和其他数字是什麽关系 -- 它是其他数字的因数、还是倍数？ 比如说，我在影片里用一个「水果分装」的问题作示范： 「桃子56颗、梨子42颗、李子28颗，混合分装 -- 每一合中都有三种水果各若干颗，每一 颗装的内容物都一样；则每盒最少共有几颗水果？」 这题要求什麽呢？ 最小公倍数？ 最大公因数？ 其实都不是…… 让我们来思考一下： 分装的时候，水果的个数会变成「 盒数 x 一盒几颗」；我们列式如下： 盒数 x 一盒几颗 桃 ) 56 = _____ x _______ 梨 ) 42 = _____ x _______ 然後想想，在这题里面，「相同的」是什麽？ 李 ) 28 = _____ x _______ 是「三种水果，被分进一样多盒里呢？」 还是 「每一盒里面，三种水果一样多颗」呢？ 嗯，学生多半会想到，是三种水果被分进的「盒数」相同。 再要他想想，这个「盒数」，和三种水果的个数 56、42、28 的关系， 它是这三个数的……？ (因数，这个学生也容易想得到) 最後一定要问他，要把这个「盒数」求出来，你要找到 56、42、28的什麽？ 如果我的学生回答的是「最大公因数」，会被我纠正 -- 到目前为止，我们都不知道他要求的是不是「最大」的公因数； 这个「盒数」是 56、42、28 的「公因数」，但不一定是最大的。 然後我们要去看题目， 题目要问的是「每盒最少共装几颗水果」 -- 一盒里要装得越少，就要分成越多盒； 到了这里，我们才能确定的确该去求「最大公因数」 求出来 ( 56 , 42 , 28 ) = 14 这也不是答案， 因为题目问的不是盒数、不是最大公因数； 他问的是当分成十四盒时，桃子一盒 4 颗、梨子 3 颗、李子 2 颗， 所以一盒里装 9 颗是最少的装法。 (我都把取完公因数，剩下来数字叫「渣渣」 ，这题求的是 「渣渣的总和」^^ ) 如果学生学会了「该怎麽一步、一步去想」、「看到题目上讲的什麽，可以想到什麽， 所以才要这样算」； 那他就不必去记一个又一个，很少在重复的题型。 只要在练习的过程中， 让自己熟悉这些不断重复出现的「为什麽」和「怎麽想得到」的事。 而且还有一点很重要，你在算的时候，很清楚自己为什麽要这样算，所以不会浪费精力在 困惑和怀疑、回想。 3. 「为什麽「头尾都算，就要加一」？」 比如说「 4 到 19 之间有几个整数？」 这类的问题，我都建议从「间隔」去想。 19 - 4 = 15 ，这里的 15 ， 是指在数线上，从 4 到 19 一共要前进 15步、一共会有15 个「间隔」。 有 15 的间隔的话，需要几个隔板呢？ 14个 如果要连头尾都夹起来，夹住 15 个方格的话，要有几个隔板呢？ 16个 所以「头尾都算」才要把 19 - 4 给 +1； 「头尾都不算」才要 减一； 「头算尾不算、尾算头不算」就不必调整，就是 19 - 4 = 15。 (围成一整圈的话，就不用加也不用减) 4. 接近 1 的分数比大小时，和 1 去比 ex： 5 / 4 、 6 / 5 、 7 / 6 三个数，谁大？ 很多学生都会记口诀、或是背题型； 但这都不如你直接想清楚来得好、又不怕到时候搞混背错。 5 / 4 = 1 + 1/4 6 / 5 = 1 + 1/5 7 / 6 = 1 + 1/6 因为 1/4 > 1/5 > 1/6 ；所以 7/6最小、 5/4 最大 如果是真分数 ，es： 4 / 5 、 5 / 6 、 6/7 三个数，谁大？ 同样的， 4 / 5 = 1 - 1/5 5 / 6 = 1 - 1/6 6 / 7 = 1 - 1/7 因为 1/5 > 1/6 > 1/7 ， 1 减得越小，剩的越大； 所以 6/7最小、 4/5 最大 如果记口诀：「真分数，数字越大的越大；假分数，数字越大的越小」之类的，再看到这 个问题的时候，难道就不会背错吗？ 上面教的这四点，和一开始那张图教的那一件事，这五个重点， 大概就是这章是最要紧的事了。 以下列出一些在本章会需要掌握到的思考关键； 5. 若 「a 除以 3 会余 1、 b 除以 3 会余 2 」， 那 ( a + b ) 除以 3 ，会余下1+2，结果刚好一堆，所以是整除。 (这个好像叫 「 余数定理 」，我不太确定) 6. 取 [ , ] 的步骤共有两阶段， 第一阶段，先取 ( , ) ，第二阶段，把取剩的「渣渣」再拿来取 [ , ]： 然後乘起来。 ex： [ 240 , 144 , 72 ] = ( 240 , 144 , 72 ) x [ 10 , 6 , 3 ] ^^^^^^^^^^^^^^ 24 这个道理可以在练习短除法的时候发现，但大多数的学生都没有想清楚这点； 以至於他们在求三数、或大数 的公倍数时，要嘛想破头、要嘛从2开始开短除法 7. 「最简分数」 => 分子、分母 互质 => ( 分子 , 分母 ) = 1 8. 「a 、 b 互质」 ==> ( a, b ) = 1 ==> [ a , b ] = a X b 9. 假分数比大小的时候，可以和「整数 1 」去比； 带分数、负分数比大小的时候，可以一层一层、由内而外去推论 10. A/B X c 变成整数。 若 c 本身是整数，则 c 是 B 的倍数； 若 c 是分数，则 c 的分子是 B 的倍数、分母则是 A的因数 (如果 c 的分母不是 A 的因数的话，那乘起来最後会留下约不掉的分母， 就不会是整数了) 11. 分数比大小的时候，其实也可以 「通分子 -- 透过扩分、约分，把分子变得一样」去比； 甚至分子、分母 也可以有小数 -- 不一定要通到「最小公倍数」越通越大。 再提醒一次，一定要学生连「为什麽要这样算」一起学起来， 不要只是记下「怎麽算」而已哟！ 甚至是「如何判断，是不是 2、3、4、5、9、11 的倍数」的方法，也不要只是用背的， 在最好把「为什麽」证明给学生看懂一次，才比较不会忘。 (顺便可以复习数字、倍数，还有余数定理) 以下是，「有熊老师陪你教数学」国一上 第二章「因数倍数」的各集影片： 「判断因数、倍数的方法」、「学习要 "内化" 」 https://www.youtube.com/watch?v=FtlUgCl9tMg 「因数、倍数关系 的活用」、「再别康桥」、「说谎」 https://www.youtube.com/watch?v=UPtY_au0xeI 「标准分解式 与 ( , )、[ , ]」、「如何才会长高？ 谁容易被蚊子咬？」 https://www.youtube.com/watch?v=xC9m89tJ0qs 「快速抓取 ( , )、[ , ]」、「来改用 "二进位" 表示数字吧！」 https://www.youtube.com/watch?v=fpi54anaOqs 「( , )、[ , ] 进阶思考」、「"演化论" 不是 "进化论"」 https://www.youtube.com/watch?v=DAegpYWE5ag 「从 "分装问题" 学习 因数倍数 之应用问题」、「台湾地名由来」 https://www.youtube.com/watch?v=2Kjuk8mheho 「切割、合并 问题」、「专利权 之意义」 https://www.youtube.com/watch?v=3_1EBoqkMDY 「种树、路灯 问题」、「毕氏定理 之 简易图解」 https://www.youtube.com/watch?v=GhB45hE6Q8Q 「同时出现 问题」、「通分 与 最简 之进阶题型」 https://www.youtube.com/watch?v=b3CrE2tDDYI 「各种 "分数比大小" 问题」、「生态工法」 https://www.youtube.com/watch?v=PN-PxLJFqDI 「作业及重点复习」、「再探 "二进位" 」 https://www.youtube.com/watch?v=nLRO9H7A9Ig 「与 "分数" 有关之应用问题」、「西游记」 https://www.youtube.com/watch?v=3MeoFhPpqp4 这篇文章的 FB网志 版本 https://www.facebook.com/notes/492086654232481 -- 有熊老师陪你教数学 (影片放在youtube频道) YouTube 频道 https://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/ Facebook专页 https://www.facebook.com/Teacher.Koala 欢迎前来分享教学心得 (也可以来问问题哟~~) --

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