透过这篇说点自己的想法， 有些有关，有些无关，不一定是相左或冲突，只是说说自己意见。 ※ 引述《arist ( 在他方 )》之铭言： : ※ 引述《AirWall (空气墙)》之铭言： : : 1.年级：高一 : : 2.科目：多项式 : : 3.章节： : : 多项式 : : 4.题目： : : x^2-1 : : --------- 是不是多项式 : : x+1 : : 5.想法： : : 最近因朋友拜托缘故，接了高一生数学， : : 太久没碰很多都忘了， : : 这题答案is"不是" : : 想请问为什麽不能约掉来看呢? : : 是因为约掉後的式子意义和原本的式子意义不同吗? : : 这该怎麽解释? 有时教学的困难，是在於： (1)因材施教 (2)因地制宜 每个学生特质以及学习需求不同。 开始当家教时容易以自己的角度去思考什麽方式才是对於学习这个科目最有利的。 伴随时间经验累积，渐渐觉得实则不然。 把自己心中理想化的教学，套到自己理想化的学生身上， 只有在恰巧那位学生是自己的理想化学生时才洽当， 塑造他成为自己理想中的学生，却不一定对他比较好。 举个例子是，一个要学游泳的人， 可能只是要让自己免於溺水，也可能是要成为奥运国手，这两种动机需求就不一样。 但是身为教师，如果提供的和学生需要的不同，就不见得对他有较好的帮助。 这是为什麽我用来提醒自己的教学原则里， 会把教学内容的专业性放在最後一个的原因。 如果这不是他要的，很可能就只是一种负担。 对一个肯用心在教学内容里下功夫的教师来说，教学的专业性也许不是最困难的， 正如Feynman也说过，一旦搞清楚教这门课的目的是要给学生什麽， 教学就成了简单的事情。 但是Feynman自己也对教学不满意，也有所挣扎。 因为显然他自己也清楚，很难去满足所有学生。 会在这里提到这个的原因，在於家教和带班级不同。 家教通常是一对一，很客制化，这时候你比较难有藉口。 如果你的学生不适合你的教学，你很难再把你的教学理念搬出来。 所以，无论教学再怎麽理想，都有个前提，学生恰巧是那个理想化的学生。 简言之，不是每个学生都有闲花这麽多时间细细品味教师觉得有趣的东西。 如果你只是要从不会到会，而不是从不会到精； 就算是物超所值你也不见得愿意接受的。 如果我搭个计程车赶时间，就算司机要免费教我如何驾车，也会造成我困扰的。 如果学生每天除了数学，还有国文、英文、物理、化学、生物， 加之自己喜欢的社团活动、聚餐、约会等， 对他来说以最有效率的方式取得可以升学的成绩，可能才是最重要。 对学习最有利的教学，不见得是对学生最需要也最有利的。 只是做这一行的人，很自然会把这个看得比较重，也希望获得较多的重视。 然而这往往是身处这个职业的人的角度，而不是那个学生的立场。 : 分享一下，我在教学时，不会只给个学生答案。 : 首先要帮学生建立一个概念 : XXX 是不是 OOO 的问题都不是数学问题。 : 诸如学校很喜欢考 XXX 是不是函数之类的、ＯＯＯ是不是随机变数 : 就如同费曼的这个故事： : : 在夏天的周末,费曼的父亲会带他到山上的树林里漫步,并且告诉他树林里所进行的各种 : 有趣的事情。其他邻居的母亲们觉得这是很 美好的事,所以也要她们的丈夫带她们的小 : 孩到树林里漫步。 : 後来他们小孩们在野外玩耍,其中一个小孩对费曼说:「看到那只鸟儿吗?那是甚麽鸟啊?」 : 费曼回答说:「我是一点也不晓得那是甚麽鸟呢。」 : 那小孩道:「那是褐喉歌鸫。你的爸爸真的是啥都没有教你!」 : 其实他的父亲说:「牠是史朋塞鸣禽,在意大利牠叫另一种名字,在 葡萄牙、中国、日本, : 牠各有不同的名字。你可以学知那种鸟儿在世界各国的名字,但,学会了那些名字, : 你对那种鸟儿依旧是一无所 知。你所知道的,只是人类在世界各地如何称呼这鸟儿而已。 : 所以, 还是让我们看看那鸟儿到底在做甚麽吧,因为那才是重点。」他接着 说:「例如说, : 你看那鸟儿一直在啄牠的羽毛。你看,牠走来走去,在啄牠的羽毛。」 以我自己的角度，我完全同意这种启发式教学。 但是在另一方面，对於这种教学是不是对所有学生都好，我持保留态度。 对於Feynman是很好的，但是换了一个人，也会成为Feynman吗？我是存疑的。 这样的故事很励志，也确实能提醒一下教学的另一种极端， 特别是在台湾现在的升学导向的教育环境风气里， 我也曾经以为这就是最好的教育和学习方式， 可是当自己经验渐渐累积， 我才发现教育真正的困难就在於不是「每个环境」和「每个个体」都适合这样子的。 我不是想说某一种教学比较好或不好， 与此相反，我想说的是对於家教，可能没有哪一种方式是最好的， 只有相对比较适合那位学生的。 所以我不想去塑造一个假象，让家长或学生以为有某一种教学比较优越。 因为当我们从理想中清醒过来，走入现实的时候，会发现全然不是这麽一回事。 现实有现实的因素要面对，我们可以提升自己的专业去满足更多学生的需求； 但是无法因此去减少现实中要面对的因素： 包括：每个人一天只有24小时、除了数学还有很多其他有趣的事、升学看各科成绩等。 Feynman当然很聪明，什麽东西都追根究柢， 但我相信像他一样充满好奇心的人也很多， 却不是每个有好奇心的人都有能力成为Feynman。 我想这对很多在他的专业领域中的佼佼者也会同意。 有不少物理学家都觉得，Feynman在他的自传里隐藏了太多自己的天才。 三傻的电影我也看过，经过朋友推荐， 第一次完整看完时，我也颇喜欢的。 因为内容很有共鸣，我也曾经体验过那些教育体制里的种种弊病，也曾在体制里叛逆。 但是积极一点来说，我不会为了励志学生，要他们把电影看得过於认真。 因为电影总是比较简单的。 如果做自己想做的，成功就能伴随而来，这种成功就不会这麽稀有或让人佩服了。 或许当学生相信这句话会更努力，但是只给这种不合实际的希望，就是正确的吗？ 魏德圣和李安成名的同时，世界上会没有其他同样具电影热情的导演？ 我不相信。 而那些同样具热情的导演，只要做自己想做的，也一定会成名？ 我也不相信。 但是这里要澄清的是，我不是指：一定不会成名。而是不相信每个人都一定会成名。 三傻的结局搬到现实中，其实是打自己在开局的脸。 因为成功的定义建立在名利的追逐上时，才衍伸出了功利主义的教育。 如果不把成功建立在仅只是名利上，才可能看到名利以外的价值。 偏偏在结局又把名与利做为证实自己的成功来收尾。 形同是在说，你只要做自己喜欢的，名利就会追着你来。 那其实还是一种变相的在追逐名利。 我无意批判追逐名利的好或坏， 只是，我不同意只告诉学生最好的结果对他才是最好。 我认为理想和现实都是必须的， 我们要告诉学生最好的打算，也要告诉他最坏的打算。 让他自己也能参与到对自己的选择负责，因为别人是没有资格去帮他负全责的。 身为教师，能做的只是从经验上告诉他会有哪些可能的结果； 以及帮助他更容易达到他想达到的目的。 你想追逐什麽，可能有某些方法比较容易成功，某些方法比较容易失败。 对小孩的教育不能只给希望，却误导他忽略现实。 如果教师只挑符合理想化的学生来教， 以上一切的考虑就是多余。 下面就只是建立在如果是这样子的学生来讨论： : : 所以呢，我来假想一个很理想的对话情境 : Ｓ：「这题 (x^2-1)/(x-1) 为何不是多项式？」 : Ｔ：「他是不是多项式我也不是很清楚，要看我们用哪个版本的说法。」 : Ｔ：「但我们先不管他是不是多项式，我们先来欣赏一下这函数的特性。」 : Ｓ：「噫，这个可以约掉成 x+1」 : Ｔ：「真得可以约掉吗？、约分是做什麽事？是什麽意思？」 : Ｓ：「分母不能为 0 才能约！、那 x/x 不等於 1 罗？」 : Ｔ：「x/x 在 x 不为 0 时才能约。」 : Ｓ：「所以这函数有漏洞，会断掉，不会连在一起？」 : Ｔ：「『连在一起』是重点。」 : Ｔ：「多项式之所重要：就是简单有很好的结构，其中一个好特性就是连续。」 : Ｓ：「连续有什麽重要的呢？」 : Ｔ：「连续让我们可以比较容易掌握他的行为，不会突然暴走」 其实这一段如果学生没有发问，我就会主动问学生。 用一个名词来答覆，并没有比较理解意涵啊。 为什麽0/0很严重　->　因为不连续　-> 为什麽连续重要？ -> 因为不会暴走 只是在不同却等价的名词之间转换， 对於究竟为什麽名词背後代表的意义可以反映是否严重，依旧没有回答。 就像有人问这动物会飞 -> 因为是一种鸟类　-> 为什麽鸟类会飞　-> 因为鸟类有翅膀 听起来好像回答了问题，学生也觉得知道答案了，鸟类有翅膀所以会飞。 可是真的知道鸟为什麽会飞？ 至少我是觉得和前面Feynman的故事里，回答名子类似， 没有让我们对鸟为什麽会飞有更进一步的了解。 只是换了一个等价的定义来取代另一个定义。 而且是一个对鸟类的行为没有任何深入了解的人都能给出的回答。 所以如果要让学生真正理解， 就要说清楚究竟什麽是暴走以及为什麽很重要。 同时我必须说，再怎麽理想的学生， 也不可能每个题目我都用这种方式教学。 因为要学的东西很多，重要的东西也很多， 如果任何细节都要深究，都要学生花大量时间，进度会十分缓慢。 所以在教学上，一定会有取舍。 什麽是比较重要的，需要多花点时间， 很多时候只能是教师自己主观判断和选择的。 : Ｓ：「所以我们只要知道他的现在的行为，就可以推估他接下来的行为？」 : Ｔ：「大致感觉是这样的，「堪根定理」就是用到这样的特性来找根。」 : Ｓ：「堪根定理，听起来很难耶？」 : Ｔ：「堪根定理的应用就像我这个胖子都让我可宣称我曾经 50 kg 过。」 : Ｓ：「你曾经50kg，很久以前吧！」 : Ｔ：「对啊，但就是曾经有过，也没有说天长地久。」 : Ｓ：「那不连续，就不保证这样的事情了吗？」 : Ｔ：「你看 y=(x^2-1)/(x-1) 曾经让他的 y 值等於 2 吗？」 : Ｓ：「曾经的意思是指什麽？」 : Ｔ：「函数里面 x 的意涵大多是指时间，所以问何时，通常是问 x 为何？ 」 : Ｓ：「在 y=x+1 这函数时，x 为 1，y 就等於 2」 : Ｓ：「可是，x=1 无法代入 y = (x^2-1)/(x-1) 变成 0/0 ！」 : Ｔ：「出现，0/0 可是会让电脑当掉。」 这里同上，仍然没有说明0/0为什麽会让电脑当掉。 如果学生满足於这种结论，只要一开始指明x=1　y=0/0不就好了吗？ 如果真的觉得这件事情很重要， 我就会告诉他 0/0　究竟会怎样　，而不是会只是告诉他「暴掉」 这样子听起来好像有感觉，实则含糊的概念。 例如从数学上， 我们知道除法运算是从乘法定义来的， 因此只要将等式还原成乘法的表示， 对於0/0何以不存在，就显而易见了。 　 我觉得过度偏重过程或答案，都是不洽当的。 答案与过程都重要。尤其是科学教育，就是在追求真实。 牛顿力学对日常生活足够用，但是当我们要验证与相对论力学有不同预测的现象时， 答案当然很重要。 因为他会让我们决定相对论要被舍弃或保留。 在相对论被保留的同时，可能有无数的理论被舍弃。 牛顿力学能被保留在於他是相对论的近似，所以能合乎适用范围。 但是牛顿的光粒子说就完全被舍弃了。 克卜勒在寻找行星定律的过程，也不是一次成功。 有些过程和结果现在看起来也是很荒谬的。 例如他原先认为太阳系里的行星，都是正多面体。 如果他真的觉得答案不重要， 指管相信以自己的过程手段推出的答案， 大可以不再继续努力，也不会有後来的克卜勒定律。 爱因斯坦也曾对自己的宇宙常数感到後悔， 因为他原先的思考以为宇宙是静态的。 甚至当有人从广义相对论解出宇宙在膨胀的结果，还被他批评物理素养不好。 我想爱因斯坦的思考过程，应该没有人会觉得很肤浅， 只是，科学能进步不是因为这是爱因斯坦的思考过程推出的答案， 而是即使是爱因斯坦的过程，最後也要接受实验的检验（也就是答案能否符合现实）。 : Ｓ：「所以这题考试时要写『不是』多项式。」 : Ｔ：「你在写考卷时，可以想着这是个无趣的考法。」 : Ｔ：「但你可以用有深度的思维来写下这简单的答案『不是』」 : Ｓ：「『不是多项式』是个很简单的回答，可以说课本定义就这样写。」 : Ｓ：「但至少有了解後，就觉得这定义是是用心良苦，这题目也是很重要。」 : Ｓ：「当看到题目是多项式时，心里就比较心安，这函数不会太乱来！」 : Ｔ：「先学多项式就像先开车先开柏油路，没有太多坑洞比较安全。」 : Ｓ：「一开始就要开不平的山路，大概连开都不敢开。」 : Ｔ：「那接着我们再来想 x 有绝对值、x 在根号内的好处理吗？」 : Ｓ：「x 在绝对值，太恐怖了。」 : Ｔ：「课纲编辑委员也是这样想，所以一开始就介定范围，先把最简单的先学好。」 : Ｓ：「原来课纲的编排也是用心良苦。」 这个函数了解之後，就不恐怖了。 恐怖就是因为不了解啊。 其实就只是x=-1实没有自然定义的值， 让学生理解到因为没有自然定义，所以我们可以自己去定义， 就会使得问题极其单纯。 这里延伸出的想法，包括後来的Dirac-delta函数， 也就是说没有自然定义的地方有很大的自由度可以去规定那个地方的行为。 即便是无限大，也都能选择要无限大到何种程度， 甚至传统上不连续的概念，都可以被看成是连续函数的某种极限。 当然这些内容，可能只有在学生上大学才比较能体认到这种帮助。 所以我会说，要刚好遇到的学生适合去讲这些内容， 再来斟酌要讲到什麽程度。 即使是国中数学，要问到超出大学程度的问题，也可能是很容易的。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 49.216.163.65