※ 引述《iclaire (小可)》之铭言： : 想问一下 : 虚数不能比大小有没有比较能让高中生理解的说明 : 我有看过那种用三一律公设产生矛盾的反证法 : 不过似乎对学生来说有点不好懂 : 另外我之前在讲到复数平面时主要都会跟学生解释 : 如果把虚数a+bi化成复数平面上的一个点(a,b) : 那麽两个虚数之间代表的就只是两个点的位置 故无法比大小 : 不过这个说法好像有些人说不太对 : 想顺便请教这个的正确性 : 谢谢 要回答学生这个问题时，要先清楚学生的「疑惑」在哪里？ 在学生的认知里，「比大小」就是比序。 在考题的认知里，「比大小」就是操作不等式。 若没离清这个认真的差异性，再多的说明都会造成学生： 「我考试会写这个答案，但我心中有一套自己的答案。」 要帮助学生能自行解惑首先让学生去想这清楚个问题 「比大小」是为了什麽而用？ 任何定义都由其缘由。若来源不清楚，只成了背诵似的学习。 即使附上证明也是在做机械式的操作。 所以在讲三一律之类的说明之前，这些预先的背景概念要先建立。 例如： 甲： 英文 90 数学 75 乙： 英文 80 数学 85 这两个人的成绩可以比较大小吗？ 这要看你要用什麽标准， 有些学校会采记两科总分、有些学校会数学加权50%或者英文不算。 在不同的标准下，就有不同的「大小」。这边的「比大小」又称为「比序」。 但「复数」的「比大小」若要和乘法运算一起使用时 (ex: i*i = -1) 就会和实数以前不等式的关系有冲突。 (ex: a>0 或 a<0 都有 a*a>0) 在考题中的「大小」是指 「不等式的运算」而不是比序。 此时，无论你假设「i>0」、「i=0」、「i<0」都无法满足以前熟悉的不等式关系。 因此在作复数的扩展时，以前熟悉的规律要抛弃，「不等式」的运算就是要被舍弃之一。 我认为高中数学考卷 出现选项「 2+3i > 1+2i」是个无法啓发学生心智的问法。 因为这些都是定义问题，只考定义的结果、不探讨定义的缘由时，就让数学沦为背诵。 这是很多学数学的教授、明智明理的老师的共同认知， 你也可以看过去二十年内的指考、基测，就不会有这样的题目出现。 但定义还是需要知道的，因为数学有个角色就是扮演科学的共同语言。 有相同的定义是方便沟通，但「教学」不同於「字典」之处就是 教学并不是只给「定义」，而是要引发学生思考去探索「定义」。 (中间这段牵涉到一些名词，非数学专业就可以不用细看) ==== ==== ==== ==== 其实在数系扩张的过程，我们一直在取舍， 因为扩张的目的就是要让运算更完备，但要有舍才能有得。 从整数扩张到有理数时，虽然使得除法的运算得以操作。 但我们舍掉「离散性」、取而代之的是「稠密性」。 「稠密性」其实是个很不可思议的概念，任何两个数中间竟然都有一个数。 而且可以无止尽的反覆寻找下去， 这无限切割的抽象概念是和自然界物质由基本粒子组成的离散感觉是相违背的。 (所以，这才显得「自然数」之所以自然。） 从有理数扩张实数时，使得数线变得比较完备， 数线因此是连续，没有断掉，没有缺漏。 这一扩张让毕达哥拉斯(Pythagoras) 相信任何两线段皆是可比的概念破灭， 还因此恼怒淹死他的学生希帕索斯 Hippasus 。 此外这一扩张让我们舍弃「可数」(countable)，产生「不可数」的概念。 从实数扩张到复数时，最大的收获是多项式方程一定有解。 不止是实系数多项方程有解，连复系数多项方程的解也不会再跑出去复数的范围。 但这一扩张就要舍弃了「不等式的运算」，也就是口语的「比大小」 甚至还要玩扩张游戏的话，可以扩张到「四元数」， 此时竟然连基本的交换律 a*b = b*a 也要被丢弃。 ==== ==== ==== ==== 在回到教学上，虽说讲这麽多都是不太会考。 但我发觉有不少比例的学生比起听演算技巧的拆解步骤， 其实还比较乐意听到这样的分析讨论。 尤其是心中的「爱智」念头还没被无法理解的定义、技巧的考题摧残时。 当然还是已经有部分学生，作数学已经成了应付家长、应付考试的态度。 此时你向他讲「复数不能比大小」他就像机械一样把这句纪录在脑中。 也不会有露出一丝「惊讶」与「疑惑」时，这时候也的确不用解释那麽多。 但一旦他露出那一些些怀疑时，老师的角色就是帮他去探索、 让他了解原来任何事都是有根源的。 -- 全文後来稍微改写於 blog http://tutorchiang.blogspot.tw/2013/09/blog-post_2.html

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