※ 引述《ivorycoast ()》之铭言： : 1.年级：高一 : 2.科目：数学 : 3.章节：排列组合 : 4.题目： : (1)、试证C(2n，n)可被n+1整除。 : (2)、对任意正整数n、k，其中n大於等於k， : 求证C(n，k)、C(n+1，k)、C(n+2，k)......、C(n+k，k) : 的最大公因数为1。 : (3)、设N=19^88-1 (19的88次方减1)， : 求N的所有形如2^a．3^b的因数总和， : 其中a，b为正整数。 1. 由 C(n, k) 的定义可知 (n+1) C(2n, n-1) C(2n, n) = ------------------ , 又因为 C(2n, n), C(2n, n-1) 均为整数 n 所以 n | (n+1) C(2n, n-1), 其中 (n, n+1) = 1 可以推得 n | C(2n, n-1) C(2n, n-1) C(2n, n) = (n+1) ------------ 为 n+1 的倍数 n 其中黄色部分 : 若 n | ab 且 (n,a) = 1 则 n | b 可以透过数论证明 或用标准分解式 (质因数分解) 说明 2. 对 k 做数学归纳法 k = 1 时 ( C(n,1), C(n+1,1) ) = ( C(n,1), C(n,1)+C(n,0) ) = ( C(n,1), C(n,0) ) = ( n, 1 ) = 1 一般的 k ( C(n,k), C(n+1,k), ..., C(n+k, k) ) 黄色部分用 C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1) 拆开, C(n-1, k) 恰为前项 根据辗转相除法原理, 可以减去 = ( C(n,k), C(n, k-1), C(n+1, k-1), ..., C(n+k-1,k-1) ) = ( C(n,k), (C(n, k-1), C(n+1, k-1), ..., C(n+k-1,k-1)) ) 根据归纳假设, 後面部分最大公因数为 1 = ( C(n,k), 1) = 1 P.S 辗转相除法原理: 若 p 为若干数的因数, 则这些若干数互相加减, 亦为 p 的倍数 所以 (a, b) = (a, b - a) 可以推广至多个数. -- -- 幽默是把橡皮造的剑：容许你刺中要害却不流血。 Mary Hirsch --

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