这篇文章是写好转贴过来的，写的时候是以给孩子 看的角度写。 　　有机会可以问问自己的学生，说不定会发现些什麽～ 　　－－－－－ 　　会写这篇文章，是因为家教时发现这件事情，发现这件自己 以前也没怎麽想过，却似乎很关键的概念。 　　而後在教国中的学生时，询问其对於「解联立方程式得出的 解」的看法後，才发现这样的「不了解」有可能是普遍的现象。 　　既然有可能是普遍的，那就先听问题吧XD。 　　本篇文章适合学过二元一次联立方程式，或者是底下的一元 二次方程式的人。 　　一组二元一次联立方程式如下： 　　3x + 4y = 5 　　2x + 5y = 8 　　求解（x,y）？ 　　前面提过你学过了，所以你应该做得到消去其中一个变数後 得出x = -1、y = 2 的解（就是写成（-1,2）罗）。 　　接着有个好问题。 　　2x + 5y = 8 是原本的式子嘛……如果我把右边等号及数字 先拿掉，只看2x + 5y。 　　那请问，如果把刚才求出来的解 x = -1、y = 2 带进去2x + 5y ，计算出来後会得到多少？（就是问2*(-1) + 5*(2) = ?） 　　接着就有几种情况。 　　第一种，你算不出来XDDD，那这就是国小或国一的事情了， 先关掉我这篇文章吧，并且去告诉你的学校老师，他并没有教会 你，请他再教你一次。 　　第二种情况，你算出来了，并且你列的算式是 2*(-1) + 5*(2) = -2 + 10 = 8，答案等於8。 　　第三种情况，你连笔都没有拿起来，脑中连算式都还没浮现 ，答案就出现了8。 　　欸……怎麽会有第二种和第三种情况的差异呢？（这篇文章 是建立在你是用第二种情况的算法来写的） 　　第二种情况的人，请再试试看把x = -1 、y = 2 这组联立 方程式的解，带进去 3x + 4y（原本3x + 4y = 5式子的等号左 边部分），会得到多少？ 　　如果你再列了一次3*(-1) + 4*(2) = -3 + 8 = 5，答案等於5…… 　　不晓得你有没有发现，一开始给的联立方程式，是： 　　3x + 4y = 5 以及 　　2x + 5y = 8 　　而把求出来的这组解（x,y）= （-1,2）带进去式子的左边 部分，3x + 4y恰好会等於5，2x + 5y 恰好会等於8。 　　这只是偶然吗？ 　　在这里，我要说明这不是偶然，这也是第三种情况会出现的理由根基。 　　在这里对你提出一个问题：「求解是什麽意思（相当於问求解的目的是？）？」 　　嗯……你心里想的是「把它一个变数的系数弄成一样，然後 把其中一个变数消去，得出解」吗？ 　　如果是这样的话，你所想的是求解的「过程」，而非求解的「目的」。 　　「求解」的意思是－－「找出解答」。 　　而什麽是解答呢？ 　　当问求出 　　3x + 4y = 5 　　2x + 5y = 8 　　这组联立方程式的解时，我其实是在问： 「请找出当 x = ??? 且 y = ?????（我问号只是随便打的，表示 某个数） 时，3x + 4y = 5 及 2x + 5y = 8的两个等号会成立。」 　　如果说求解比较难，那至少我们可以判断「什麽东西不是解」。 　　举例来说，x = 100、y = 50这组（x,y）会是那组联立方程式的解吗？ 　　我就把它带进去啊，左边是3*(100) + 4*(50) = 300 + 200 = 500。 　　欸，左边得出的值是500，右边的值是5，请问500 = 5吗？ 　　500是不等於5的，意思是x = 100、y = 50 这组（x,y），带 进去式子里，结果等号不成立，那这组数字就不是解。 　　联立方程式求解的意思就是：「找出一组数对，使得带进去 每个式子里，都会使得等号成立。」 　　（当然如果你学的是高中不等式的联立方程式，那求解的意 思就是带进去後使得那些方程式皆成立）。 　　这就是第三种情况，可以直接回答出 8 的理由。 　　我已经找到解了！解就是会使得等号成立的数对，那我把它 带进原本的2x + 5y = 8里，因为这是解啊，所以带进去後等号 会成立，既然等号会成立，那把 （-1,2）这组解带进2x + 5y 里 ，当然就会等於 8 了。 　　如果你原本是第二种情况，希望你看完後懂求解的意思。 　　略提一下，一元二次方程式求解亦是类似意境。 　　很多学生都学得会十字交乘法，或者是背得起来公式解。 　　这里我写个一元二次方程式： 　　5x^2（平方的意思）＋18x - 8 = 0，试求解 x ？ 　　学过十字交乘法的人，姑且不论你懂不懂十字交乘法的理由，反正你写出了 　　5x - 2 　　 x + 4 ，然後得出x = 2/5 or -4 　　同样的问题，请问如果你把x = 2/5 带进去5x^2 + 18x - 8 这个式子里（原式左边的部分），结果会等於多少？ 　　再次提醒，求解就是：「找到 x = ????时（在此只有x）， 可以让原本式子的等号成立。」 　　既然找出来的x = 2/5 是解，那意思就是说，如果令x = 2/5， 则5x^2 + 18x - 8 = 0 这个式子「等号会成立」。 　　所以把x = 2/5 带进去 5x^2 + 18x -8 ，会得出多少？ 　　如果你看懂前面了，希望你同样懂这段，答案是 0 。 　　（题外话，略提一下十字交乘法到底在做什麽，举刚才的式子 ，对它十字交乘法，其实就是尝试找出它的因式。 　　我们直接来看，5x^2 + 18x -8 = (5x - 2)*(x + 4)，你检验 一下右边的式子乘开会得出左边吧。 　　那既然我们是要找x使得5x^2 + 18x - 8 = 0 成立，那就相当 於找使得(5x -2)*(x + 4) = 0 成立的x（因为两个式子是完全一样的）。 　　那(5x-2)*(x + 4)两个数字相乘要等於 0 要满足什麽条件呢？ 　　举例来说，一个正数乘以另个正数，会等於 0 吗？ 　　当然是不会（希望你真的是认为不会的XDD）。 　　两个数字相乘如果要等於 0 ，除非其中一个数字为 0 ，试想 ，若其中一个数字为 0 ，那再乘以任何数字都会等於 0 啊。 　　（这句话并不严谨，但对於大学以前的数学已经足够） 　　那我想要找出当 x = ?的时候，相乘的两数，其中一个会变成 0 ，那就是会使得5x - 2 = 0 ，或 x+4 = 0 的解罗！ 　　找出来的解，就表示把它带进原本式子里，会使得等号成立。） 　　－－－－－ --

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