作者XII (Mathkid)
看板tutor
标题Re: [解题] 高中数学证明
时间Sat Jul 23 23:18:51 2011
※ 引述《candyangela (Ti amo.)》之铭言：
: 1.年级：高中
: 2.科目：数学
: 3.章节：不确定
: 4.题目：
: 已知x^3+ax+b=0有三相异实根，试证明4a^3+27b^2<0为其充要条件。
: 5.想法：
: 目前我是希望可以利用根与系数的关系
: 来把a和b用三个实根来代表
: 可是在a^3的时候会遇到後面无法再继续解下去的困难
: 另外我也想过用勘根定理的方式
: 可是也同样找不出下手方向
: 请恕在下想法有些简单
: 不过因为这是以前的学生打电话来拜托的
: 短时间内也只能想到这些
: 还请板上各位高手见谅
设三根为p,q,r, 令S_k=p^k+q^k+r^k
S_1=0, S_2=-2a, S_3=3pqr=-3b, S_4=-a(-2a)-b(0)=2a^2
易知 有三(相异)实根 <=> D=[(p-q)(p-r)(q-r)]^2≧(>)0 (因虚根共轭)
｜1 1 1 ｜ ｜1 p p^2｜ ｜ 3 S_1 S_2｜ ∣ 3 0 -2a ｜
D=｜p q r ｜×｜1 q q^2｜=｜S_1 S_2 S_3｜=∣ 0 -2a -3b ｜=-4a^3-27b^2
｜p^2 q^2 r^2｜ ｜1 r r^2｜ ｜S_2 S_3 S_4｜ ∣-2a -3b 2a^2｜
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