※ 引述《a016960 (a01)》之铭言： : 台中卫道的考古题 : 1.年级：国2 : 2.科目：数学 : 3.章节：因式分解 : 4.题目： : X^3 + Y^3 - 3XY + 1 = 0 请因式分解 : 5.想法： : 我拆了半天拆不出来 : 公式也没什麽办法用 : 後来有点自暴自弃用 : (X-1) (Y-1) (X+Y-2) 这类型的数字下去除看看 : 结果都没办法...崩溃= =" : 想请各位高手帮解 这题可以有两种走法，基本上因式分解就只能不断尝试，错中求解~ 像这题，我们可看三次方而有两种公式可用： (a+b)^3和a^3+b^3，故不断测试後就会得到最後因式分解的结果 <法一> x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y)^3-3x^2y-3xy^2+z^3-3xyz =(x+y)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz =(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z) =(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2-3xy] =(x+y+z)[(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy] =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy) 代入 z = 1 得解 <法二> x^3+y^3+z^3-3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-xy^2-xz^2-yx^2-yz^2-zx^2-zy^2-3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-xy^2-xz^2-yx^2-yz^2-zx^2-zy^2-3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-xy(x+y+z)-xz(x+y+z)-yz(x+y+z) =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy) 代入 z = 1 得解 有些人就直接将以上因式分解结果当作另一个公式记忆 它的使用可以与根与系数结合求解一元三次方程式的题目中三根之积 另外，在数学竞赛中也很常考这题因式分解的应用 如: 若x+y+z=0，则x^3+y^3+z^3-3xyz= ? 由上知 x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy) = 0 --

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