※ 引述《jackal594 (奕毛)》之铭言： : 年级：高二 : 科目：数学 : 章节：三维空间向量 : 请问三角形OAB面积等於向量OA和向量OB外积向量的二分之一长度，原因为何？ : 以下我的想法： : 假设 O＝(0,0,0) A＝(a,b,c) B＝(p,q,r) : ∣OA∣^2＝a^2+b^2+c^2 : ∣OB∣^2＝p^2+q^2+r^2 : ∣AB∣^2＝(p-a)^2+(q-b)^2+(r-c)^2 : 三角形OAB面积 : ＝(1/2)｜OA｜∣OB∣sin∠AOB : ＝(1/2)｜OA｜∣OB∣√(1-cos^2∠AOB) : ＝(1/2)｜OA｜∣OB∣√[1-(∣OA∣^2+∣OB∣^2-∣AB∣^2)^2/(2｜OA｜∣OB∣)^2] : ＝(1/4)√[4｜OA｜^2∣OB∣^2-(∣OA∣^2+∣OB∣^2-∣AB∣^2)^2] : 接着把∣OA∣^2 ∣OB∣^2 ∣AB∣^2 分别代入上式 : 经过繁复的计算整理 : ＝(1/2)√[(br-cq)^2+(cp-ar)^2+(aq-bp)^2] : 除此之外，不晓得各位在教学的时候有无较简易的方法或利用什麽观念来解释此公式？ : 以上 您的想法是一般教科书的作法 这里利用投影的想法，提供一个关於这个式子的几何连结 令u＝(a,b,c) ,v＝(p,q,r) (这里u与v是向量) 已知u ×v=(X,Y,Z)，其中: X=|bc| Y=|ca| Z=|ab| |qr| |rp| |pq| 为什麽u与v向量所张成的平行四边形W的面积，会等於|u ×v|=(X^2+Y^2+Z^2)^1/2呢? (也就是这二个向量的外积之长) 我们先把u与v向量所张成的平行四边形W，分投影到yz,zx,xy平面上 这时，会得到三个平行四边形 不难检查这三个(投影)平行四边形的面积刚好分别为上述的X，Y，Z 例:u与v投到xy平面上→(a,b,0)与(p,q,0) 则张成之平行四边形面积为|ab|= Z |pq| 又原OAB平面(即平行四边形W所在平面)的法向量N即为u ×v=(x,y,z) 而N与yz,zx,xy这三个座标平面之法向量i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) 的夹角分别为为α，β，γ 而这三个角α，β，γ即为W所在平面(OAB平面)与yz,zx,xy平面的夹角 根据面积的投影，可得下面关系式 W的面积‧|cosα|= X (1) W的面积‧|cosβ|= Y (2) W的面积‧|cosγ|= Z (3) 又因为(cosα)^2 + (cosβ)^2 + (cosγ)^2 =1 (不难检查) .....(4) 因此，将(1)(2)(3)整理代入(4) 可得，W的面积^2 = X^2+Y^2+Z^2 即u与v向量所张成的平行四边形W的面积(X^2+Y^2+Z^2)^1/2恰好就等於|u ×v| 上述过程，即透过(1)(2)(3)(4)式，可将平行四边形W的面积 与其投影至三个坐标平面之平行四边形之面积X，Y，Z作连结 因而得证该式，并得到该式的几何意义 以上供参考。 --

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