作者jackal594 (奕毛)
看板tutor
标题[解题] 三角形OAB的面积
时间Sun Aug 29 12:15:22 2010
年级：高二
科目：数学
章节：三维空间向量
请问三角形OAB面积等於向量OA和向量OB外积向量的二分之一长度，原因为何？
以下我的想法：
假设 O＝(0,0,0) A＝(a,b,c) B＝(p,q,r)
∣OA∣^2＝a^2+b^2+c^2
∣OB∣^2＝p^2+q^2+r^2
∣AB∣^2＝(p-a)^2+(q-b)^2+(r-c)^2
三角形OAB面积
＝(1/2)｜OA｜∣OB∣sin∠AOB
＝(1/2)｜OA｜∣OB∣√(1-cos^2∠AOB)
＝(1/2)｜OA｜∣OB∣√[1-(∣OA∣^2+∣OB∣^2-∣AB∣^2)^2/(2｜OA｜∣OB∣)^2]
＝(1/4)√[4｜OA｜^2∣OB∣^2-(∣OA∣^2+∣OB∣^2-∣AB∣^2)^2]
接着把∣OA∣^2 ∣OB∣^2 ∣AB∣^2 分别代入上式
经过繁复的计算整理
＝(1/2)√[(br-cq)^2+(cp-ar)^2+(aq-bp)^2]
除此之外，不晓得各位在教学的时候有无较简易的方法或利用什麽观念来解释此公式？
以上
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◆ From: 220.138.16.71
※ 编辑: jackal594 来自: 220.138.16.71 (08/29 12:16)
1F：→ f12747:向量外积就是绝对值ABsinΘ，若B是底边，A就是高，算出来的 08/29 12:54
2F：→ f12747:结果就是一个平行四边行，若於以二则可得到一个三角形。 08/29 12:54
3F：→ f12747:第一句应改为「若B是底边，AsinΘ就是高」 08/29 12:55
4F：→ jackal594:感谢楼上的解答 能否把"向量外积就是绝对值ABsinΘ" 08/29 13:42
5F：→ jackal594:的原因稍微说明一下？ 08/29 13:42
6F：推 genius100:向量的外积是我们定义出来的一个向量,他的方向跟另外两 08/29 14:56
7F：→ genius100:个向量互相垂直,而且大小就是那个向量所夹的三角形面积 08/29 14:57
8F：→ genius100:的大小 08/29 14:57
9F：→ genius100: 两 08/29 14:57
10F：→ jackal594:嗯嗯 我的问题就是为何等於向量所夹的三角形面积大小? 08/29 15:23
11F：→ jackal594:同时垂直两向量我了解 但等於面积是如何推导出来的呢? 08/29 15:24
12F：→ jackal594:而且向量的外积算法是公式 并非定义 08/29 15:26
13F：推 genius100:那你觉得外积公式是怎麽来的呢 08/29 15:32
14F：→ jackal594:楼上 我先出门家教 回来再po文解释可以吗 麻烦等我一下 08/29 15:40
15F：推 genius100:我翻遍了很多有关向量分析的书,每一本都说外积是定义出 08/29 15:56
16F：→ genius100:来的,至於为啥要这样定义,基本上向量本来就是为物理而发 08/29 15:57
17F：推 genius100:展出来的数学工具,会这样定义自然有它使用的方便性在 08/29 15:59
18F：→ genius100:只是後来向量又另外在数学上拥有自己的一片领域 08/29 16:00
19F：推 genius100:你是大学生吗,是的话,手边应该有相关原文书,因为定义真 08/29 16:33
20F：→ genius100:的没有什麽好解释的,直接去看原文书的陈述会比较清楚 08/29 16:33
21F：→ jackal594:感谢楼上还特地去翻书 楼下有神人利用投影解答了 08/29 19:19