作者austin1119 ( )
看板tutor
标题Re: [解题] 微积分连续函数的意义？
时间Fri Jul 23 01:07:40 2010
※ 引述《roderick6887 (费洛蒙)》之铭言：
: 1.年级：大一
: 2.科目：微积分
: 3.章节：第一章 函数的极限与连续
: 4.题目：左极限=右极限,极限值存在;极限值=函数值,代表函数连续;
: 可微代表连续,连续不一定可微
: 题目都要设法证明函数连不连续,到底意义为何？
一个函数连不连续是一个重要的性质
连续也是一个很强的条件
一但一个函数是连续函数，它就有很多好的性质可用
这里举一些基本，常见的简单性质:
连续函数相加、减、乘、除(分母不为0)、合成依然连续函数
中间值定理(高中阶段的勘根定理，即为一特例)
可积分性
极值定理:在compact set上极植存在
在compact set上自动升极成均匀连续
把compact set送到compact set
把connected set送到connected set
把闭集拉回来变闭集
把开集拉回来变开集
或者，更进一步地，连续函数可以找到多项函数逼近之(应用上极重要)
: 我如果知道此函数连续？然後呢？有无任何(物理)意义或应用？
: 5.想法: 课本只写函数在X0点处连续与不连续,是函数在一个点附近的特性.
: 但我觉得也许用在工程上（专业科目）可能有物理意义,如果有意义为何？
时间就是连续函数
所以我们常作时间与距离、时间与速度、时间与加速度的图形
其中并把时间放在横轴(x轴的角色)
进一步去处理这些具物理意义的函数
又或者说，很多大自然现象背後的函数是连续函数:
例如:物体的运动(抛物线或直线运动)
或是指数与对数函数
又或者连续的周期函数与sin与cos的关系
在了解了连续函数的各种性质之後，也方便进一步去研究这些大自然或科学现象
至於连续是如何定义的呢?
先定义f(x)在a点连续:
对所有的ε>0，存在δ>0 (与a点和δ有关)
使得，当d(x,a)<δ时，d(f(x),f(a))<ε
然後，再定义f(x)在整个区间I(或空间上)连续:
对所有a属於I，f(a)皆连续
至於你说的"左极限=右极限,极限值存在;极限值=函数值,代表函数连续"
基本上，就是一种我们对函数在单点连续的直观上的等价想法(高中把它当定义)
只要将f(x)在a点连续的定义与极限相关的定义作个比较
不难得到上面等价的直观性质
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◆ From: 140.122.174.173
1F：推 roderick6887:感谢详尽的回答,讲的非常清楚 07/23 07:44
※ 编辑: austin1119 来自: 140.122.174.173 (07/23 09:36)
2F：→ joezi:恩 这是拓朴上的连续定义 白话点来说 就是 在f如果在X=a时连 07/26 13:03
3F：→ joezi:续的话 那在a附近找一个区域用f函数送到Y 那送过去的区域一 07/26 13:05
4F：→ joezi:定也会在f(a)附近 而且误差值在可接受范围之内 07/26 13:06
5F：→ joezi:忘了说 实务上 连续的重点在误差值的范围喔 07/26 13:46