※ 引述《buttercrab ()》之铭言： : 一直推文 乾脆回文吧 : 首先 我认为我全部推文都是平心静气说的 : 至於专业的跋扈一词 我的确说得过份了点 : 在此先行致歉 并收回 : 不过我也想借此机会说说自己的看法 : 国中教学目的为何 我的看法是 know what : 也就是让学生一窥学问的轮廓 : 但是因为入学竞争 这样的目的显然已不单纯 : 所以我现在觉得入学考试一方面是筛选学习成就较好的 : 也等於是在筛选比较有条件接受更难的教学的孩子 : 不过我今天用这样的辞去评论某版友 是觉得 : 感觉上他想表达他念了很多书 这是好事 : 但是他认为每个国中生在数学的表现都应该跟他一样棒 : 这就不切实际 : 我问一句 各位觉得历史是一门如何的学问 : 我必须坦承 我喜欢读史书但是我历史真不会应付考试 : 有一天 如果我的历史老师斥喝我 : [你必须把事情发生的原因 来龙去脉 因果影响 : 时代背景 後续影响 及可能发生的不同结果 都要彻底了解 : 才叫做学历史!!] 我想 我可能会很讨厌那个老师 : 其实很多本科系的老师都有这种倾向 : 就是在自己专精的科目上 要求学生做出超乎该当阶段的表现 : 但是我觉得问题的原点 我想表达的其实很简单 : 我不想评论斜率的产生史 文化背景 延伸讨论 : 我只想说 给定座标, m = dy/dx 有什麽难以启齿的 : 好用 简洁有力 会想的学生 自然会追问下去 : 很多学生 高中毕业打死不再碰数学 你跟他谈严谨性？ : 不如让他的数学生涯轻松点 您好: 您说的这点我当然知罗 我并不是要表达教师一定要要求学生多麽严谨 (这是数十年前的时空背景与数学教育的思潮，现今大大不同) 当然知道很多学生很不喜欢数学 数学老是考不好、没信心(其实常常是考了太多没意义的技巧或难题了) 我也知道，学习成就感与成绩对学生情意的帮助 而我所想要表达的是，即使这样不教，或这样要求 但数学教师心里应知道逻辑严密之於数学的重要性 还有了解数学证明之於整个方法论还有数学本身的意义与重要性‥ 至於如何教学就端看个人的信念与数学哲学观了‥‥ 为了教学与理解，或许有时用点小手段，调整教学方式或教材顺序当然无妨 但是，若只是为了快速解题，而不管逻辑顺序地硬要使用了"牛刀" 我就比较不赞同了 一方面，原本课本丢这些问题的目的，就是要让学生练习基本的数学程序与方法 或熟悉数学概念与相关的符号演算 就例如二点求一直线方程式，练习设未知数，解二元一次联立方程式 不也是对於中数学的基础练习呢? 虽然慢，但是是在累积基础‥熟悉未知数的运算、操作与表徵 (很多学生上了高中，这部份的能力很弱‥因此这样的特别练习与加强是有需要的) 引用A.Sfard或APOS理论 对数学物件的操作与运算有时虽然繁索， 但却是学习数学的重要过程 对数学物件进行操作才能进一步内化、压缩、最终达到物化数学概念的目标 (例如:能把向量、函数看成一个点之前，不也经年累月地操作向量与函数呢?) 很多年前的课堂上，曾经有学生拿"某名师"所教的"微分公式"来炫耀 来解高一高二一些解析几何的问题‥ 他说补习班老师很利害，原来微积分很简单，大家都听得懂‥ 很多人说微积分很难是骗人的，或一定是老师教得不好‥‥‥ 我记得我当时，下一节课上课马上随堂考 设计了一个很简单的基本问题，结果全班多数学生都得满分，他却是0分的一员 也趁机机会教育一下 他後来就乖乖上课了，本来他上课是觉得太简单基本，从不听‥ 我自己的立场是，该好好练习基本概念与程序时，就好好花时间做苦功夫 好的工具，虽然好用，但未必要早早就亮出来 一方面，这是较为没意义没结构的学习 二方面，逻辑顺序有问题(虽然有人比较不在乎) 三方面，对其它的学习未必带来帮助，有时是有害 补充一点: 国际性的数学教育研究也显示: 台湾地区国二数学学习成就是全世界数一数二的 但情意、对数学的兴趣与态度却是最後的 这现象，也是很值得深思的‥‥ 我并不是什麽数学专家，数学知识如果有100分，我懂的可能远远不到其中1分 我也略仅是懂一点点基础的数学，还有对数学的各个面向有兴趣 (数学之教育、历史、社会、文化、哲学、娱乐等面向) 同时，我也不是很会教书，板书也很难看，教学经验也不是很多‥ 我不会教很多特殊的解法，也不会要学生背很多型，或给学生很多难题 我会强调数学概念的意义与数学的内涵与重要性 更强调对概念的理解与课本基础问题的学习与练习 我有时也试着让学生了解数学知识的结构，或许大部份学生听了觉得有意义但久了就忘了 但我的教学与家教生涯运气很好 虽然我从没教过基测250以上的高中学生(含家教) (早期，曾短暂带过30个资质不错的国中生，後来20多个上第一志愿， 但我一直觉得当时的教法是害他们) 大部份是220~230或有一些是不到200的学生 但有许多个到了高二，是连国二数学都不太会的学生 後来数学学测都有高标至顶标‥ 也有高一数学在校成绩被当，後来社会组指考满分‥ 也许其它老师与家教老师更利害 但，我最开心的，不是学生考很好 而是当我发现学生是因为我而喜欢数学 变成自动自发学习，不需要我特别督促 别科老师恨得牙痒痒校排倒数的一群学生，竟然假日固定约数学小老师出来一起讨论数学 当原本很讨厌数学，数学课要嘛累了睡觉或是过动乱跳乱跑的学生 从0分军团，到认真上课，数学成绩还曾经变成段考全班第一 当念高职的学生，告诉我说他想当数学老师，数学学测也超过顶标‥ 念三年社会组，本来高一是补考八科 後来考上某国立大学的数学系的学生，修了教育学程 所以，我也会认同要让学生快乐地学习，并喜欢数学‥ : 最後我用一个比喻结尾 当然既然是比喻必有不合之处 : 有个濒临死亡的病患 痛苦难当 且客观上已无救治至痊癒之可能 : 这时候 吗啡的过量使用 应该是合宜的 : 但是如果有人说『吗啡会上瘾所以不能用，让他痛』 : 你感觉如何？ 以下开始说些故事，给有兴趣的数学同好。 能够从寥寥无几个无中生有的公理，导出那麽多的结果，实在是几何学的荣耀 -牛顿《原理》前言 注:这里所谓的公理，在几何原本中又区分为: 五个共有概念(common notion)与五个设准(postulate) 原始的意义是不同的，但现代数学习惯上不特别加以区分。 上述赞美了欧基里德集前人大成，写成了几何原本，建立了几非何学之数学结构， 深深影响了往後的数学发展与数学学习 至於他是如何建构，基於什麽来建构，也是重要而值得探讨的问题? 另外，突然想要，要跟发文者说声抱歉，也许我之前推文的用词、语句不当 当时赶时间要出门，没太注意到自己的用词，让您误会我的意思 我不是什麽数学的专家罗，我也是数学学习的初学者‥ 当时只是觉得您有时间可以念过一次几何原本，欣赏一下她的美 特别是第一册的结构，相信会带来不同的体会 了解数学家是如何建构起这栋数学大厦，还有如何来建立这栋大厦的地基 (当然100年前，希尔伯特花了很多努力补上几何原本的不足与缺失) 也许会帮助您更了解典型的数学结构 并思索与了解为什麽数学家这麽强调逻辑顺序的重要性 当然，大学群论也是训练数学严密思考的一门学问 从群的公设出发，严密地演绎出我们从小习以为常的诸多性质与定理 PS 师大退休的洪教授与许志龙教授， 也都很推崇上述之学习过程，对数学思维训练带来的帮助 我以前总以为自己数学多好，多会解题 数学竞赛‥科展得名‥中学数学成绩不错，高三下就在第一志愿班当解题老师，写详解 大学虽一直混与玩但成绩还不错‥ 但除了成就感之外，学越多，我越打从心里不喜欢数学 觉得数学是一堆没有意义来由的解法，算则，公式，一堆没意义也没用的定理与证明 後来，硕二时 在我读了，也初步了解了几何原本之後，才慢慢发现数学之结构与意义 开始喜欢上数学，同时，也发现以前的对数学原来是一点也不了解 开始从基本而重要的数学书念起‥ 我的数学书非高中数学课教科书与讲义大概快100本了吧(虽然没有全都详读完) 以下，继续再聊一些数学故事与数学教育‥ 数学的发展当然可以暂时不管逻辑，还是能产生很多有用的工具 非常有力有效地解决问题，能蓬勃发展，广为应用‥ 除了古希腊之外的其它多数文明中的数学发展， 多以实用为取向，少有理论之建构 此外，近代微积分的发展过程亦是最鲜明的例子 牛顿与莱布尼兹发明了微积分之後的200年里 微积分乃至分析学的各学门，微分方程，变分学，单复变函数论 依据直观与图形的想法而快速发展，并且在科学与其它领域之中广为应用 但迟迟缺乏逻辑基础，这也就像我们多数人初学微积分时，很多证明 都是"乎胧"地带过，而不是先建立实数完备性之後 再透过严密的d-s语言来证明各定理 (也许少数数学系教授微积分就会这样教，例:台大‥) 就如同当年，对於无穷小量与一些极限的概念，牛顿本身也无法掌握， 讲不清楚，更说不明白 更遑论十八世纪晚期，柏林科学院为了微积分所需的基础 徵求论文，希望有人能解决无穷概念，但最後没有得到有贡献的研究成果 数学家们担心数学的基础动摇，数学知识的确定性将不再 直到十九世纪，波札诺的努力、柯西的严格化运动 最终Weierstrass引入我们现在极限相概念的定义 并终於完成了分析的严格化工作 补上了分析学的数学与逻辑基础，才使得数学家继续安稳地进行工作 这也就是，我们目前高等微积分所学课本的重要内容 补充一点 Weierstrass的伟大除了在於上述工作，还有复变上的成果 他的一群学生都成为伟大的数学家，这是数学史上相当少见的 高斯虽然有黎曼这个高才生， 但是，事实上，黎曼早已经有许多重要研究成果才去找高斯的 有兴趣的人，也可以先思考一些问题: 1.希腊几何学(特别是亚里斯多德的想法与欧基里德几何原本的架构)之於其它文明的数学 有何不同?什麽样的背景造成这样的差异? 特别是中国的"差不多先生"与希腊化时代柏拉图乃至於数学家们对於"确定性"的重视 2.为什麽人类发展史上这样推崇几何原本 连後来的重要科学、力学、医学、天文学、伦理学着作， 都相继模仿它的体例与结构，试图利用公理设准来建立知识呢? 3.学习高等微积分之於学习微积分的意义 4.100多年前，数学家们为什麽大费周张地处理数学的基础问题 而後也产生了直观主义、形式主义、逻辑主义之哲学派门与争端呢? 5.数学与科学知识的本质与知识核证的有何不同? 6.数学知识的概念、理论与结构对比於各种解题方法，何者才是学习数学的目的? (有机会再分享九章算术原术文对比於刘徽之面积与体积结构) 最後，分享一点数学教育的理论 引用一下Van Hiele所提出，关於我们学习几何学的思维发展层次模式 由上往下发展‥ L0 视觉化(辨识) 能认识辨识不同的图形，如三角形、正方形 但仅能把图形视为整体，尚不能了解图形的性质 不能根据性质来区分图形(例如:有一个角为三角形为直角三角形直角) L1 分析 学生能了解图形的性质，并藉以性质来辨识图形(而不是视觉化的直观) 但无法解释这些性质之间的关系，亦无法了解什麽是定义 L2 非形式演绎 学生能建立图形性质之间的关系 可以从图形中演绎出性质，并对图形进行分类 可以形成非形式的推理(例如:A是B的充分条件) 但无法了解公理的角色与意义，无法了解逻辑顺序的重要性与意义 也无法了解整个演绎学科的意义 (也就是可以从A推到B(局部或微观的推理)，但无法了解其背後的逻辑关系与结构) L3 形式演绎 理解公理系统是作为建立几何学的方法与其重要性 了解未定义项、定义、设准、公理、定理与证明的角色与意义 可以严密地建构证明，而非记忆，并能使用不同的方法建行证明 L4 严谨 可以在不同的公设系统下进行工作，例如了解非欧几何与欧氏几何之关系 可以比较不同的几何系统 这些阶层之间的关系，就暂不多述 目前台湾的数学教育国二下阶段开始从L1进入L2 但是研究显示绝大多数的学生是进不到L3 我想也有数学「老师」，也仅达到2~3之间 虽然并不要强求学生要怎麽发展，学得多好 也许有时为了教学的需求，必需有一些小手段(重直观暂放掉逻辑) 但身为数学教师的我们 有兴趣，有时间、有闲情之余也可以多充实自己 使自己本身能对数学教材具有结构和高观点 培养来自各个不同面向，更加丰富的基本数学素养 例如:课程早期，教师可以用生活中的例子来比喻让学生学习负负得正的概念 但数学教师本身应了解，代数之中如何证明"负负得正" 或至少要知道这是可以证明了，而且是基本的，并不是很繁索的 又或者，能了解很多数学家直到十八世纪仍无法掌握"负数的概念"， 始终认为负数是荒谬的，方程式的负根是假的根，错误的根 再从不同社会脉络下，可了解为什麽中国数学家早期即能操作负数之运算 以及阿拉伯人如何在其社会情境下处理负数 从哲学的面向了解"负数"这样一个概念，为何会产生这样的认知困难‥ 从教育的面向来看，是否有人研究过学生认知困难或迷失概念有哪些? 是否有教学方法或媒体能帮助学生建构负数之概念本身 而不单只是熟悉计算程序‥ 如此，当学生初学习负数概念产生困难时，能更同理地面对，并给予协助‥ 相信教学与数学教育会更完善美好一点 -- 家教学生出国玩了 结果从家教变成待家教板玩乐 @@ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.122.174.6 ※ 编辑: austin1119 来自: 140.122.174.6 (05/20 21:10)