第一问〈30分〉： (1) x≧2 ， y≧2 ， 8≦xy≦16 ，想要求 z=log2(√x) + log2(y)的最大值。 先假设 s=log2(x) ， t=log2(y) ， 来计算 s + t 的范围。 可以得到 s≧１ ，t≧１ ， ３ ≦ s + t ≦ ４ 这样的范围。1,2,2pt. 然後利用 z= (１ / ２)s + t的关系式，可以得知z在 s=１ ， t=３的时候，3*2pt. 会有最大值 ７ / ２ 。也就是说z在 x=２ ， y=８ 的时候，2,1,1,pt. 会有最大值 ７ / ２ 。 (2) 在 0≦θ<2π的范围内，考虑满足 5sinθ - 3cos(2θ) = 3 ........〈此式命名为☆〉 的θ值的状况； 首先将☆式用sinθ来表示，会变成 ６(sinθ)^2 + 5sinθ - ６=0 。2pt. 因为 -1≦sinθ≦1 ，可以解出sinθ =２ / ３ 。3pt. 接着，如果把满足0≦θ<2π的范围内的两个θ解，较小的称为θ1， 较大的称为θ2的话，则 cosθ1 = √５ / ３ ，cosθ2 = －√５ / ３ 2,1pt. θ1会符合不等式３，而３由以下六个选项选一个：4pt. <0> 0<θ1<π/12 <1> π/12<θ1<π/6 <2> π/6<θ1<π/5 <3> π/5<θ1<π/4 <4> π/4<θ1<π/3 <5> π/3<θ1<π/2 cos(π/5) = (1+√5) / 4 ， cos(π/12) = (√6+√2) / 4 就可以得知，可使 nθ1 > θ2 的最小正整数n必为４。3pt. 第二问〈三十分〉： 抛物线C的方程式为 y=2x^2 ，点A的座标为(1 , -2)。 A点对座标为(u , v)的Q点作对称得到的对称点是P，而P的座标是(x , y)。 於是可以得到 u=(x +１) / ２ ， v=(y - ２) / ２ 的关系式。2*2pt. 当Q点在抛物线C上移动时，对应的P点轨迹会变成抛物线D， 则D的方程式就会变成 y=x^2 + ２x + ３ 3pt. 两个抛物线C与D的交点称为R与S，其中x座标较小的是R。 於是点R，S的x座标依序是 －１ ， ３ 。2*2pt. 而抛物线D上，通过R与S的切线则分别是 y=２ 与 y=８x - ６ 。2*2pt. 在抛物线D上若有一点P，且P的x座标为a，由P做垂直x轴的直线， 会跟抛物线C相交於H点。当 －１ < a < ３ 的时候，三角形PHR的面积S(a) 可以表示为： S(a)=(1 / ２)×(－a^3 + a^2 + ５a + ３) 4pt. 而当 a=５ / ３ 的时候，S(a)会出现最大值。 3pt. 接着就让 a=５ / ３ 。那麽直线HR跟抛物线D会相交於一个不是R的点， 该点的x座标则为 １ / ３ 。 3pt. 最後，在 (１ / ３)≦ x ≦(５ / ３) 的范围中，抛物线D与直线PH跟 直线HR三者围成的图形面积就会是 １６０ / ８１ 了。5pt. 第三问〈20分〉： 座标平面上有一个以原点O为中心，半径为1的圆C1。圆上有两点P,Q。 线段PQ上有点N使得 PN : NQ = 4 : 1 。 当然，当P与Q移动到同一点 时，N也会跟点P,O在同一点上。 (1) 点P，Q的座标分别假设为 (cosα , sinα)与(cosβ , sinβ)。 其中α，β的范围为 0 ≦ α < 2π ， 0 ≦ β < 2π 。 这时候如果点N的座标为(X , Y)的话，必有 X = (cosα + ４cosβ) / ５ ， Y = (sinα + ４sinβ) / ５ 这样的关系。 3pt. 整理过後可以得到 X^2 + Y^2 = (８ / ２５)×cos(α - β) + (１７ / ２５) 。2*3pt. 而随着点P，Q在圆C1上移动，可以得到 X^2 + Y^2 的范围为： (９ / ２５) ≦ X^2 + Y^2 ≦ 1。3pt. (2) 当点P，Q在圆C1上移动时，点N的座标会符合以下不等式： (９ / ２５) ≦ X^2 + Y^2 ≦ 1 ........〈此式命名为☆〉 这个不等式也代表着点N可以存在的轨迹。 如果我们把点Q(cosβ , sinβ)给固定住，而让点P绕圆C1一圈的话， 点N的轨迹就会变成以点T 〈(４ / ５)×cosβ ， (４ / ５)×sinβ〉4pt. 为圆心，以 １ / ５ 为半径的圆C2。2pt. 接着让点Q在圆C1上绕一圈，T就会变成以原点为圆心而且半径 为 ４ / ５ 的另一个圆。而且当Q在圆C1上绕一圈时，被迫跟着动的2pt. 圆C2扫过的面积，也就跟☆的轨迹一模一样了。 第四问〈20分〉： P(x)是一个三次多项式，a,b,c为实数且a≠0。 当P(x)除以 5ax^2 - bx + c 时，得到商 -x + 2 与余式 2x - 4 。 (1) P(x)一定会被 x-２ 整除。而且商会是 2pt. －５ａx^2 + ｂx - ｃ + ２ 3pt. 然後，如果P(x)除以 (5x - 2)(x - 1) 而余4x的话，则b跟c可以用a来 表示： b=７a - ５ ， c=２a + １ 2*3pt. 以下均以 b=７a - ５ ， c=２a + １ 当前提来讨论。 (2) 三次方程式P(x)=0有三个相异的根。这三个根的倒数和如果用a来表示， 就会变成 4 - [３ / (４a - ２)] 了。 3pt. (3) 三次方程式P(x)=0如果其中一个根的倒数是1+kι〈k是正实数〉， 那麽三个根的倒数和就会变成 ５ / ２ 。 2pt. 并可由此得到a的值为１，最後得到k的值为２。 2*2pt. 以下是关於这些题目的一些想法，想要自己写的人请先不要看喔。 第一问第一小题代数变换後，比较正确的做法是用s跟t对z做线性规划。 第二小题用三角函数的基本公式可以求解，比大小如果没背根号值也不 会直开的话，可以提出0.1来开600,200的数值。最後是用thita1的范围换 初thita2的范围，冷静应不难解。 第二问中点公式，轨迹带入，解联立二次都很简单。S(a)的极值用微分最快， 最後用积分求面积最好是把图形尽可能正确画出，因为积分范围不是从R点积起， 而是RH跟D的另一个交点也就是1/3处。 第三问非常有趣，总之N点最後会变成一个圆环轨迹，中间推导要用cos的和角 公式。当T圆动时，C2跟着转动，会变成一大片轨迹，画起来像画卷发..... 然後就会跟原本的N轨迹一样了。 第四问一开始就要看出2是一个根，然後利用除法原理列式，代入2/5跟1来找 abc之间的关系。三个倒数的地方除了一个是1/2之外，另外两个要用第一小题 那个二次商式配合根系数关系来列。最後给定一个倒数的地方，利用共轭复数 跟共轭根的关系可以轻易知道另一根倒数是1-ki，就可以找到a。最後带回二次 商式慢慢找k即可。 整体来说这份卷子比台湾的学测稍难一些，但是最大的问题还是时间限制。 毕竟只有六十分钟吗....所以理解卷中的意义并且顺题意作答还是比较好的。 浦岛景太郎应该就是考这个吧！不过我不觉得偏差值48〈大概相当於PR45〉 的景太郎会考多好就是了..... -- 秃龙洞主　朵思大王　　南蛮之王　　孟获　　　　建宁太守　雍闇　　平均 孟获之妻　祝融夫人　　孟获之弟　　孟优　　　　越隽太守　高定　　武力６９ 祝融之弟　带来洞主　　孟获副将　　忙牙长　　　高定大将　颚焕　　智力３５ 乌戈国王　兀突骨　　　第一洞元帅　金环三结　　高定大将　朱褒　　政治３３ 八纳洞主　木鹿大王　　第二洞元帅　董荼那　　　　　　　　　　　　魅力４４ 银治洞主　杨锋　　　　第三洞元帅　阿会喃　　　选自「南蛮英雄录」 --

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