作者Intercome (今天的我小帅)
看板tutor
标题Re: [解题] 高二数学
时间Mon Nov 30 17:25:46 2009
※ 引述《pttfly (如果)》之铭言：
: 1.年级：高二
: 2.科目：数学
: 3.章节：平面向量
: 4.题目：
: 过三角形ABC重心G的直线交AB於P点, 交AC於Q点, AP=xAB, AQ=yAC,
: 求三角形APQ最大面积为三角形ABC的几倍? 此时x=? y=?
AG向量 = 1/3*AB向量 + 1/3*AC向量
= (AB/3AP)*AP向量 + (AC/3AQ)*AQ向量
因为 G-P-Q三点共线，所以 AB/AP + AC/AQ = 3
AB/AP + AC/AQ AB*AC
利用算几不等式可得 --------------- > ( ---------)^0.5
2 = AP*AQ
AB*AC 1/2*AB*AC*sinA △ABC 9
=> ------- = ---------------- = ------- < ---
AP*AQ 1/2*AP*AQ*sinA △APQ = 4
当AB/AP = AC/AQ = 3/2 => x = y = 3/2 时
有最大面积比为 4/9 倍 #
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◆ From: 122.146.64.96
※ 编辑: Intercome 来自: 122.146.64.96 (11/30 17:28)
1F：推 wyou:题目是问△APQ是△ABC的几倍，所以是否应该为△APQ/△ABC才对 11/30 17:37
2F：→ wyou:但如此一来就变成最小是 4/9 倍了 11/30 17:39
3F：→ Intercome:所以我後面是取倒数阿 11/30 17:39
4F：→ theoculus:跟我一开始想法一样,不过这样算的确如一楼所说是最小值 11/30 17:57
5F：→ theoculus:再说取倒数,不等式方向要改变.EX: 2 > 1 => 1/2 < 1/1 11/30 18:08
6F：→ hightacps:(x+y)/2 >=√xy >= 2xy/(x+y) 2xy/(x+y) = 2/(1/x+1/y) 11/30 18:31
7F：→ hightacps:以上不等式可由半圆明显看出 取後面那个不等式即可解此 11/30 18:31
8F：→ hightacps:看错....这样还是会变成最小值 11/30 19:46