作者andygenisu (冰炫风)
看板tutor
标题[解题] 高二 数学 排列组合 + 机率
时间Mon Jul 20 21:13:35 2009
1.年级：高二
2.科目：数学
3.章节：排列组合 + 机率
4.题目：
共有四题 ^^
(1) 将 1 ~ 10 共十个数字，填入一 2 X 5 的长方形格子里，如下图
□□□□□
□□□□□
填入规则为：填入数字绝对不可以比右边一个及上面一个大，其余不限制。
(就是可以 4 5
6 9 10 这样)
1 2 3
7 8
求填入数字的组合数。
(2) 若变成一 m × n 的长方格，填入共mn个数字，请问共有几种组合数？
╭ 共 n 行╮
□□□‧‧‧‧‧□□ ╮
‧ ‧
‧ ‧ 共 m 列
‧ ‧
□□□‧‧‧‧‧□□ ╯
(3) 现有 n 封信准备寄往 n 个不同的地方，因此有 n 个信封袋。若随意将信放入信
封袋，一封信放入一信封袋。求装对信封袋的信件数期望值。
(4) 有一长方形路段，纵线八条、横线五条，如下图。
┌┬┬┬┬┬┬┐
├┼┼┼┼┼┼┤
├┼┼┼┼┼┼┤
├┼┼┼┼┼┼┤
└┴┴┴┴┴┴┘
求从左下角走到右上角且将面积分为两半的捷径(只能往右或往上走)走法数。
5.想法：
(1),(2): (建中的小考题目@@...)
1 和 10 这两个数字，由题意得知只能分别摆在左下跟右上角，然後对其他数字
於不同的情况讨论、整理，本来觉得满好进行的，结果事实不然@@
至於第二小题就真的必须找出通解了...@@.....
(3) 题原本的题目本来不是这样，是关於七对夫妇的题目，然後问座位分在一起的期望
对数，题目的答案是 1，可以经由期望值的计算方式算出来。
我试了几个不同的数字，如五对夫妇、六对夫妇、乃至八对夫妇，答案都是 1，
而「1」这个答案也看似很合理，
(阿大家乱放乱放期望就是只有一个会对呀)
不过我却不知道该如何用数学式子或是更好的阐述方式解释这个结果。
(有点像是300颗球里有150颗红球，取後不放回，取 100 次得到红球数的期望值，
等於先取一次算期望值，然後再直接乘 100 就是答案的这种模式。
但由於我硬把式子列出来之後却无法整理出漂亮的答案，因此我自己都说服不了
自己了，更何况是问我的学弟...)
(4) 我想到的方式是横断面分别设 a , b , c , d 四个变数，代表从左到右的格子数，
且 a + b + c + d = 14 (面积为 28 的一半)
图示比较好懂，如下图：
a = 6
□□□□□□□
b = 3
□□□□□□□
c = 3
□□□□□□□
d = 2
□□□□□□□
红色框框的边缘即为捷径走法。
如此一来即依下列式子求出答案：
a + b + c + d = 14
0 ≦ d ≦ c ≦ b ≦ a ≦ 7
但是这样也得一个一个分组讨论.....
想请问有无任何更快速的算法??
感谢版上各位强者了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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一切都是幻觉，吓不倒我的。
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◆ From: 118.168.5.77
1F：推 crazymars:(1)要转换成一路领先的问题 07/20 21:49
2F：推 ramun:1. 41? 07/20 22:22
3F：推 ramun:第二题是 数字从1到MN吗 07/20 22:26
4F：→ andygenisu:对 1~ mn 07/20 22:33
5F：推 ramun:有答案吗 07/20 22:42
6F：推 ramun:4. 26 07/20 22:50
7F：推 kisc91389:1.10!/5!5!=252 07/21 02:49
8F：→ kisc91389:1.任意一组数字,依照右边比较大的原则,只会有一种排列 07/21 02:53
9F：→ kisc91389:所以其实题目在问10个数分成2组有几种分法 10!/5!5!*2! 07/21 02:54
10F：→ kisc91389:成2!是因为有上下两列,依此类推,有mXn个数m!/(m/n)!n次 07/21 02:57
11F：→ kisc91389:方 像这种题目可以让学生用2X2 3X3推出公式 07/21 02:58
12F：→ andygenisu:第一题答案是42 07/21 11:47
13F：推 tmtmtm:1. 定义a(n,m)代表第一列有n个方格第二列有m个方格的方法数 07/21 22:57
14F：→ tmtmtm:所求=a(5,5) 07/21 22:58
15F：→ tmtmtm:根据题意~可得a(n,m)=a(n-1,m)+a(n,m-1) 07/21 23:00
16F：→ tmtmtm:先看一个特别的case,a(1,n)=a(0,n)+a(1,n-1) 07/21 23:02
17F：→ tmtmtm:=1+a(0,n-1)+a(1,n-2)=2+a(1,n-2)=...=n 07/21 23:03
18F：→ tmtmtm:所以a(5,5)=a(4,5)=a(3,5)+a(4,4)=a(3,5)+a(3,4) 07/21 23:06
19F：→ tmtmtm:=a(2,5)+a(3,4)+a(3,4)=a(2,5)+2a(3,4) 07/21 23:09
20F：→ tmtmtm:=a(1,5)+a(2,4)+2(a(2,4)+a(3,3))=5+3a(2,4)+2a(2,3) 07/21 23:11
21F：→ tmtmtm:=5+3(a(1,4)+a(2,3))+2a(2,3)=17+5a(2,3) 07/21 23:13
22F：→ tmtmtm:=17+5(a(1,3)+a(2,2))=32+5a(2,2)=32+5a(1,2)=42 07/21 23:14
23F：→ tmtmtm:补充第三行~若n不等於m~a(n,m)=a(n-1,m)+a(n,m-1) 07/21 23:15
24F：→ tmtmtm:若n=m,a(n,n)=a(n-1,n) 07/21 23:16
25F：→ tmtmtm:@@~算好久~不知道有没有更快的方法~希望有人能提出来^^~ 07/21 23:16
26F：→ tmtmtm:第二题又更难了@@~不知道大家有什麽想法 07/21 23:17
27F：推 tmtmtm:当n大於等於2~a(2,n)=(n^2+n-2)/2 07/21 23:24