作者ultimateve (歧路客)
看板tutor
标题Re: [解题] 高一数学"最高公因式与最低公倍式"
时间Thu Dec 18 01:13:22 2008
: 题目：设 a,b,c 为相异实数，且 abc 不为 0，
: 若 f(x) = ax^2 + bx + c 与
: g(x) = bx^2 + cx + a 有公因式，
: 求 a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = ？
cass I 有二次因式
则显然的 a b c 系数比成等比例
- = - = -
b c a
则a=b=c 故a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2
=(a+b+c)(0)=0
cass II 有一次因式
存在x-r
有 x-r | f(x) = ax^2 + bx + c
x-r | g(x) = bx^2 + cx + a
由余式定理 f(r) = ar^2 + br + c = 0 ....(A)
g(r) = br^2 + cr + a = 0.....(B)
f(r)-g(r)=(a-b)r^2 + (b-c)r + (c-a) = 0....(C)
又因为假定为只存在一次因式 故r有唯一解
观察其错位 的r=1满足(C)
故x-1为公因式 且f(1)=a+b+c=0
故a^3 + b^3 + c^3 - 3abc =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(0)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
综合以上二情形 得a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
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◆ From: 140.112.249.100
1F：推 doa2:事实上case I根本不成立 因为题目说是相异实数 12/18 10:28
2F：推 phxcon:题目出错了, 要写一次公因式。不然1一定是公因式 12/18 11:26
3F：→ qpzmm:题目应该是没错才对.. 12/18 16:08
4F：→ news1215:嗯嗯....谢谢^^ 12/21 12:08