96指考数甲赏析 文/孟获 96年数甲考题难度不低，题型传统，是对学测类重观念而轻练习的考题的反扑。 这也提醒了所有补教业者，莫因循而轻忽了对学生的基础功的训练。 毕竟出题的权利是握在大考中心与出题教授的手上，因此如果太被近年考题趋势 拉着走，反而会画虎类犬，得不偿失。 单选部分： 第一题是复数平面单位圆上极式z的1±z类型题目，是棣美弗章节常考考题，但是 已经久不见於联考题中。除了可利用三角函数的倍半角公式求解之外，也可以利用 向量与几何求解。如下，将z画在复数平面上，定原点O，z所在点为P，-z所在点为 Q，1-z所在点为R。则△OQR为一等腰三角形，∠Q恰为2π/7且为顶角。将等腰三角 形分割为两个直角三角形可得OR为2sinπ/7，亦为1-z之长度，即为所求。 要答好这一题最实际的方式就是让学生好好练熟棣美弗的基本例题，但是如果之前 有把向量跟三角、棣美佛一起教，也会达到一样好的效果。 第二题是一个很基本的极限问题，不过题目里有个绝对值，会让练习不足的学生裹 足不前。如果对绝对值里的二次函数作分析，就会发现该函数在(-3±√21)/2的区 间内为正，其外则为负。所求极限是在x=1的点，二次函数为负，故拆绝对值加负 号。不只x=1如此，其左右极限亦然，因为让绝对值变号的点并不在x=1。因此不管 是左右极限还是1的数值极限都是以拆绝对值加负号的方式下去作。 这一题解起来无花无巧，但是想必会难倒不少靠直觉答题的学生。因为题目中隐含 三个点，即1与(-3±√21)/2。作题目不紮实的学生，往往会想不清楚到底绝对值 拆开要不要变号，以及会不会产生左右极限不相等的问题。可见紮实基础实是致胜 不二关键。 第三题题干较长，但只要能看懂题意就不难分析。不过依直觉答题的学生可能会猜 ㏒a=1，然後按照x,y方向列出的式子中，去找出㏒r的大小。所幸出题老师心存厚 道，并没有提供a=10这样的解答，否则一堆粗心鬼又要怨声载道了。 复选部分： 第四题出了「相关系数」，86年与90年联考各考过一次。题目不特别难，但是观念 却要很清楚。首先要注意的是第二小题，相关系数低的情况下，作出来的回归线不 具代表性。特别在此例中，分数乃是一个有界的数字，如果硬要作出回归方程式， 只会让大部分的Y值带入时，得出不合理的X。 事实上此时如果我们还要分析X-Y关系，一般必须改采其他的回归方程模型，例如 二次或多项、指对数回归等。这个观念，在大多数的课本中都没有提到，因此这一 小题可说是考得比较难一些。 第五小题也是很有意思。相关系数在X,Y作任何伸缩平移的情况下皆不变动，但是 如果乘除的是X或Y的标准差，平移的是X或Y的平均数，又如何？答案仍然是不会变 动，只因这些标准差与平均数都是「已经算出来的数字」，跟你全部减三除二，并 无任何分别！ 第五题是一个很传统的多项式题目，而且几乎可以说是程度良好的高一学生即可作 。但是要成功答出，仍然要训练过除法定理，以写出完整的P(x)。此题端看学生对 多项式的学习深度，会作就是会作，不会作就是不会作。 第六题联立後可得： x-3　　y-5　　z-4 　　　x　　　y+1　　z-2 ── = ── = ──　　　── = ── = ── 2　　　3　　　1 　　　 a　　　3　　　1 小心观察，不难发现将後比例式全部减2可得 x-2a　　y-5　　z-4 ── = ── = ── a　　　3　　　1 两线分别过(3,5,4)与(2a,5,4)，当a=时，两线必平行，a≠2时，两线由比例转参 数式时会共享同一个t以让Y,Z座标相等。此时若要让X座标相等，可由 3+2t = 2a+at得t= (2a-3)/(2-a)，此为一实数，亦即除了a=2之外每一个a均可使 两线相交而不致歪斜，因而有解。但a=2时两线平行反而无解。依题意，a可为2之 外的任意实数。 如果不使用这个观察法，就必须使用比例式求解，得交点为 a　　　1+a　　5-2a ── , ── , ── 2-a　　2-a　　2-a 然後向下求解。 此题考的是空间向量，将未知数镶在两面式中，是联考首见的考法，但在各校段考 中都已出现多次。此题依然favour博学多闻，刻苦用功的学生，但如果学生观察能 力好，也会因此吃香。 第七题的矩阵，A矩阵可视为 1 0 0 k型，其n次方必为 1 0 0 k^n，由此可知A矩 阵的平方乃是单位矩阵。或是将A视为对y=0直线〈即x轴〉作镜射之镜射矩阵，连 续两次镜射可回原点，故必为单位矩阵。B矩阵则是一个很标准的60度旋转矩阵。 各小题均甚简单，最後一小题则是很古典的ABA的n次方的连锁题。一样，用功的学 生就会，不用功就不会。 这个题目跟上一题在数甲题目多的情况下，难免会造成学生的负担。但是上一题是 学生只要多练过几题空间向量，解题速度可获提昇，这一题则是能够看出这是哪种 矩阵，就大占便宜。这是对用功学生的照顾，大考中心的用意不言可谕也。 第八题为导数与函数的古典考题。只要作出导数，顺利画图，并不难解。唯一的争 议是最後一小题是否要用积分求解。个人认为，虽然此题可用黎曼和求解，但如果 在之前教过基本积分，则会势如破竹。由此可见大考中心其实在暗示所有补教业者 ，如果学生程度良好，可教积分。旧教材还有最後一届考生，各位可自行斟酌。 选填部分： A小题考的是贝式定律，是送分题。当然可以假设工厂中只有300个产品，可用整数 速解解出。 B小题考圆，比较好的解法是从切点走直线法向量(4,3)假设出圆心座标为 (-1+4t , 6+3t)，并且让此点跟(-2,7)的距离成为5t即可。这也是考向量的基本功 。 C小题是有名的克宁奶粉罐题目，此题可使用微分或算几不等式求解，以微分为快 速解法〈但是速度相差不多〉。是送分题。 非选部分： 一、１ 考一次因式检验法。因为数字甚小，所以解题不难。题型仍然十分古典。 一、２ 考三角测量，余弦定理。如果之前有背过3,5,7三角形内藏120度即可很快解出。因 此一样是对用功学生较为有利的题目。 二、１ 考外积求平面！送分题，有念书就会，不念书或考前粗疏不练习，就是不会。 二、２ 此题数字不美，需实牙实齿计算，对爱鬼混的学生而言也是会算错的，因此不失为有 监别力的一个好题目。 近几年因为学测名额渐增，考生日有怠惰之貌，徒务虚而不务实，却不知从务实之 中领悟出来的虚才是大虚。或者是利用圆锥曲线与平面变换考题日增的趋势，来将 一些固定解法熟记，不在向量、几何、三角的融合中下苦工。 以大学教育的立场来看，许多高中题目确实没有必要出到这麽难。但是这些难题却 间接刺激了高中生的思考想像力，并且培养了苦干实干的精神。从这个层面来看， 这些难题实有存在的必要。 今年的考题对於平常不肯苦练的学生无异是一记暮鼓晨钟，应该会唤醒他们，领悟 自身的鬼混与不足。希望他们能够在挫败之後好好思考自己心智上的缺点漏洞，在 将来学习的路上补足。 唐朝杜弓步有云「读书破万剑」〈按：杜弓步为唐朝知名武术高手，据传是弓箭步 的发明人，又称「屍剩」，也就是他经过的地方只剩下屍体〉，连一介武夫都知道 念书的重要性，我们这些正在学习中的人可不慎乎？ 〈原文作者为三国第一猛将〉 -- 秃龙洞主　朵思大王　　南蛮之王　　孟获　　　　建宁太守　雍闇　　平均 孟获之妻　祝融夫人　　孟获之弟　　孟优　　　　越隽太守　高定　　武力６９ 祝融之弟　带来洞主　　孟获副将　　忙牙长　　　高定大将　颚焕　　智力３５ 乌戈国王　兀突骨　　　第一洞元帅　金环三结　　高定大将　朱褒　　政治３３ 八纳洞主　木鹿大王　　第二洞元帅　董荼那　　　　　　　　　　　　魅力４４ 银治洞主　杨锋　　　　第三洞元帅　阿会喃　　　选自「南蛮英雄录」 --

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