※ 引述《yonex (戴奥尼索斯)》之铭言： : ※ 引述《choucj (心尘)》之铭言： : : 抱歉这边我切断一下， : : 因为您底下的叙述，又是利用更多问题来解释一个问题的方式。 : : 当然您有提出一个故事 : 你好,我想你误会我的原意了... : 因为我预设回覆的问题是：为何样本变异数不选择 n，而选择 n-1 : 对於一个资质普通的高中生， : 我的陈述说明了： : 样本变异量仍然除以n，所估计到的母体变异数就会「低估」了 : 就估计母体而言，样本变异量的分母放 n－1，会缓和低估现象... : 就二选一的前提来说,我的工作已经结束.... : 我承认一个程度较佳的学生可能还会进一步的问： : 换成n－1来估计母体，难道就不会高估吗？ : n－0.5 n－0.3 .....其余的可能性不该继续考虑吗? : 是的，这确实是有继续努力下去的必要... : 但我并不打算继续回答下去... : 因为这讨论牵扯到不偏估计理论，对一个中学生无疑是不胜负荷的... 原文已阅毕，感谢您精辟的回应。 但对於我切断的部分，实在是「正常」的一位中学生都会产生的疑问。 即便知道许多对於他们现阶段会有的难度问题， 但以「低估」的这种敷衍的回应方式， 实在是一种更规避且不负责任的作法。 我不知道从哪一本书里，开始产生这样的解释， 但我相信在初始状况， 这样的用法应该只是阐明使用 n 将会造成的问题， 尔後，却被引用为使用 n-1 会比较好？！ 明白的说，与其不清不楚的用了一个有理论基础的 n-1， 我倒宁可中学生就乾脆用 n ，就用 n。 理由很简单， 1.中学生不会教到不偏。 2.变异数在中学的阶段的目的是为了比较，在同样的标准之下， 其实这两者是没有差别的。 3.在早期用 n 的时代里面，我们曾经会因此在用 n-1 替换时，产生困扰吗？ 我相信不仅没有，反而正重视这突来的改变。 4.您既然打从一开始就不打算告诉他原因了， 何必让学生了解了一堆摸不着边际的原因，浪费了依堆学习时间在上面？ 却换不到一个有理论依据的答案？？ : 用 n-1 除是为了满足「不偏性」使得E(s^2)=σ^2成立... : 在统计上一个好的估计量常被要求满足不偏性 : 样本变异数究竟是否为母体变异数的不偏估计 : 这还牵扯到各样本是否独立的问题 : 经由简单随机抽样，若所选取之样本可以再放回 : 此时母体变异数定义为以 N 为分母， : 那麽样本变异数以n－1来除才满足不偏性 : 若是有限母体取後不放回（事实上这更普遍）, : 即使样本变异数以n－1来除仍是有偏的 : 这时反而是母体该采取 N-1....（国外教材中以这个观点更为常见） ................................这句话有待商榷，母体采取 N-1 ？ : 至於「标准差」估计母体，以不偏性考量, : 则无论是以 n-1、n 来除，标准差的估计都有「误差」... : 换言之...除以 n 或除以 n-1,都是「人为」的... : 既然是「人为」的，当然就可以讲出一番道理，但这道理却不绝对， 这里实在难以认同， 1.样本统计量当然有误差，但不代表用 n, n-1因此都没差。 2.道理不绝对也是道理，就是依据。 : 这也是统计学和数学在学习心理上的差异（统计学不是数学） : (或许我们说:随机性数学与确定性数学之差异会更好) : 即使对於初学统计的大学生来说，这一整串的论证仍然容易造成混淆 : 何况是对於没接触过推论统计的中学生而言呢？ 这点我认同， 所以使用 n-1实在是挖个洞让别人跳的行为。 更何况放眼高中数学教师，有多少比例知道不偏？ 普遍知道的解释就是「因为用 n 会低估所以用 n-1....」 : 这也是我提起费曼的故事以为殷监的原因... : 我同意一个老师要尽量站在高观点的立场来指导数学 : 但是当此立场与学习者之认知有所冲突时， : 便应该以学生的可接受性为主要考量。 : 仅仅解释为何 n－1 会比 n 来的适当，对中学生我想是够了.... : 在这里提供一个自由度观点解释的理路 : 对象是中学生,当然不偏性估计的讨论只好舍弃..... : ............. : 样本点对於平均数的离差定义为 Di＝Xi-M : 但是 n 个离差 D1,...,Dn , 并不代表n个独立自由变数 : 因为受一个先天的限制式所约束:ΣDi＝Σ(Xi-M) = 0 : 所以只有 n－1 个是自由的 : 换言之...当我们知道了五个离差中的四个,第五个离差值便自动决定 : 这就是最初浅的「自由度」解释，大概也是一般高中生比较能接受的.... : n 个离差，具有n-1个自由度 : 这代表离差布於R^n空间中的n-1度子空间 : 而其平方和 ΣDi^2 (样本变异"量") 也具有 n-1个自由度 : 这在向量空间中代表着 n 度空间中，一点至原点距离的平方 : 因而样本变异"数"也是具有 n-1 个自由度 : 一个自由度提供一份变异量， : n-1 个自由度提供 n-1 份变异量。 : 所以总变异量是 n-1 份变异量的和, : 除以 n-1 就是平均每一自由度的贡献。 : 这就是之所以除以自由度，而不是除以离差数的原因... : 娴熟线性代数的学生，更可以用较抽象的高观点去体会... : R^n 中的一个向量 X＝(X1,...,Xn) : 投影到 S＝(1,1,...,1)的分量就是样本平均数。 : 样本变异数即是垂直投影向量,也就是残差向量的长度平方 : 显然....S的自由度为1,X的自由度为n,(空间概念中可能你会喜欢叫它维度,这无妨..) : 因而样本变异数的自由度为n-1 : ................ : 试图以「包装後的数学语言」让一个中学生得以体会 : 你的出发点是值得嘉许的 : 但切莫注意不可曲学以诠释... : 即使是良善的立意也不代表什麽事情都能妥协 : 像是该用数学期望值时，就不应该刻意省略， : 写下 "Σ(Xi－M)^2= n-1个母体变异数" 是不被允许的 这部分实在是不得已的误谬， 只能说要找到适当的词汇来叙述这样的感觉不容易。 : 发明一些不存在的统计陈述更要避免... : 这对学生的误导比帮助还要更大.... : 你可以再仔细检视一下自己的论述,讹误处挺多的... : 我就不一一举证了... 这话轻轻带过，但挺重的，您可以每段有误的地方简单用「...」 正如同我对您的文章论述， 您可以自己看看你自己的论述，引用了自由度、离差、向量， 却始终在边边绕， 我们就单针对一点， 「为何平均每一个自由度的贡献就能达到不偏？」 : 不过你的立意是良好的，我赞美你尝试的努力... : 规避不偏性而又能具备完备的解释,就我而言也是做不到..... : 但我却也不想走一条以偏盖全的路啦... : 把努力放在未来,对学生还是比较好的.... 何为偏？何为全？ 数学要教给学生，抓的是他的精神跟价值， 今天我们即使用自由度去作诠释， 但自由度的代表性本身就存在一个疑问， 我们用一个疑问去解释另一个疑问， 我想最大的效益就是让授课的教师当下免除自己的责任， 至少他当下说的有凭有据，学生听不懂或不理解的以後就懂了... 然而，这样的方式应是最後的手段啦～ 只是放在统计这边，让人觉得似乎还太早。 中学教师教学， 学生听的懂是教师的责任，学生学到会是他自己的责任。 如果我们连第一个责任都要规避， 那似乎不是一个应有的敬业态度。 我宁可教科书上写的解释是， 「使用 n-1系属大学统计不偏估计部分，高中阶段不做详述。」 也不愿意它给个， 「因为用 n低估，所以用 n-1」的答案.... --

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