※ 引述《yonex (戴奥尼索斯)》之铭言： : ※ 引述《Simon (我是素食宝宝N ﰠ )》之铭言： : : 1.年级：高二 : : 2.科目：数学 : : 3.章节：叙述统计 : : 请问 为何母体变异数(标准差) 与 样本变异数(标准差)的公式中 : : 前者分母取 N 後者则取 N-1 : : 为何会有这样的差别,有何理论根据吗? : : 另外,考试时如果要考母体的变异数(标准差) 是否一定会指明? : 考试的话，通常会说明这是样本或母体... : 否则，可依照现行课本所陈述，一律视为讨论「样本」变异数（标准差） : 1.如果说，「平均数」提供了观测资料「中心点」的位置 : 那麽，「离差」就是表达资料分散的状况（离差越小，资料同质性越高） : 在各种离差统计量中，以「标准差」最为常用... : 2.母体的统计量常常是不容易得到的 : （例如：调查全国老百姓体重，困难度可想而知了） : 所以抽样调查，用样本统计量推论母体统计量 : 如果说母体的全部资料总是可以（轻松）取得，那还学什麽统计呢？ : 在这里先谨记：我们往往拥有的，只是样本的资料数据 : 当然，样本数越大越好，至於要多大，在这里就不节外生枝了.... : 3.将：「观测值与平均数间离差的平方加总後，再取平均」 : 我们称之为「变异数」，可是因为变异数将资料的测量单位取了平方 : 所以为了让单位一致起见，取其开平方值，定义为「标准差」 : 无论是标准差或变异数，都是衡量观测值和平均值之间差异的统计量 : --------------------- : 4.重点开始：为何计算样本变异数要用 n-1 除？ : 假设：母体平均数μ 样本平均数 M : 计算母体变异数时用 N 来除,无论就逻辑或直觉而言，都是非常显然的 : 但是我们现在要做的是：以样本变异数来估计母体变异数 : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 在处理样本时，计算「观测值与"平均数"间离差的平方加总」的当下， : 那个"平均数"究竟是母体平均数还是样本平均数呢？ : 当然以母体平均数是最好，不过如"2."所述，我们拥有的只是样本平均数 : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 母体的变异量：Σ(Xi－μ)^2 : 样本的变异量：Σ(Xi－M)^2 : Σ(Xi－μ)^2＝Σ(Xi－M＋M－μ)^2＝Σ(Xi－M)^2＋n(M－μ)^2 : ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ 抱歉这边我切断一下， 因为您底下的叙述，又是利用更多问题来解释一个问题的方式。 当然您有提出一个故事，不过， 我想这是可以「努力」的部分，暂时还不用靠一个例子来带过。 我们的目的想是在解释Σ(Xi－M)^2代表的应该是多少个变异数。 例如：标准差的基本定义里面， 我们允许Σ(Xi－μ)^2代表n个样本变异数。 （这点同时代表(Xi-μ)^2为1个样本变异数..................(*)） 所以针对样本的变异数表达方式， 我们只要了解Σ(Xi－M)^2应该是代表多少个变异数？n或n-1,n-2甚至n-(1/2)？ 这个数字的答案，就是我们去除以n或n-1,n-2,...的理由。 我们若将上式转为 Σ(Xi－M)^2 = Σ(Xi－μ)^2 - n(M－μ)^2 = n个母体变异数 - n个平均数的母体变异数 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(**) (**) = n[(X1+X2+...+Xn)/n-μ]^2 = n[(X1+X2+...+Xn)-nμ]^2/n^2 = [(X1+X2+...+Xn)-nμ]^2/n = [(X1-μ)+(X2-μ)+...+(Xn-μ)]^2/n = [(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+...+(Xn-μ)^2+...]/n , PS:...略XD = n个母体变异数/n = 1个母体变异数 上面也就说明了，如果说每个样本Xi都产生1个母体变异数， 那n个样本X1,X2,...,Xn就产生了n个母体变异数， 那这n个样本的平均数M就是产生了1/n个母体变异数。 所以，Σ(Xi－M)^2 = n个母体变异数 - n个平均数的母体变异数 = n个母体变异数 - n*(1/n个母体变异数) = n-1个母体变异数。 上面便解释了将Σ(Xi－M)^2除以n-1的理由。 : 由式子我们可看出：样本变异量低估了母体变异量 : 如果说样本变异量仍然除以n，所估计到的母体变异数就会「低估」了 : 就估计母体而言，样本变异量的分母放 n－1 ，会缓和低估现象... : 不用 n 而以 n－1 来除的合理性就在於此... : 事实上，本问题在初等统计中...通常是以「不偏性」等观念来说明... : 「自由度」的解释，则是需要线性代数的观念 : 这样的学习路线，对於一个高中生来说是无以负荷的.... : 即使对初学统计者而言，也不适当 : 至於为什麽？ 这又是另一出漫长的故事，不打算继续罗唆了.... : : 虽然公式就是公式 但还是想了解一下比较学理方面讲解 : : 像我教学生时 也会试着去解释公式的来源与意义 : : 例如 母体的平均数 μ 与 样本平均数的不同意义 : : 所以想了解一下 上述的问题 : 有一次加州理工学院的物理学家请教费曼： : 何以自旋（spin）1/2的粒子必须遵守费米-狄拉克统计？ : 费曼说：「先给我一些时间，我准备用大一普通物理的观念程度试着回答你」 : 过没几天费曼告诉那位教授： : 「很抱歉，我已经试过了，但是一直无法把它简化到大一程度。 : 也就是说，我们其实还不了解真正了解这个现象...」 : 同样的，挑战者号太空梭失事的真相调查，忙坏了全世界的科学家.... : 其实那也不过是一杯冰水与橡皮筋的故事... : 任何正常程度的中小学生都能掌握..... : 还有後话，不过先就此打住了.... : 我只是相信：当一个人能够用深入浅出的方式表达， : 通常意味着对问题的脉络有着更通透的了解... : 否则，我会怀疑他对於那些观念，真有他以为的那麽充分掌握？！ --

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