※ 引述《dreamaster (整理房间~~~~)》之铭言： : ※ 引述《yonex (戴奥尼索斯)》之铭言： : : 统计学、数学分析，本质上有很大的成分是估计上下界的精神 : : 因此，不等式在统计学与分析学上，可能比等式更具有重要而有效的地位 : : a、b必须正数 : : 先证A≧G : : a＋b (√a－√b)^2 : : ------ － √ab＝ ------------- : : 2 2 : : 再证G≧H（利用A≧G） : : 1 2 : : √ab＝ --------------≧ ------------------ : : 1 1 1 1 : : √（--- ---） （---＋ ---） : : a b a b : : 这是最初等的证明法，本题有比较高级的证明，这里就不详述了 : : 方法是使用对数函数的凸性质与微积分 : : （其实看这个不等式，他本身就有对数函数的性质，调和平均和对数函数的积分有关系） : : Sn为等差级数的前n项和，可立即推导公式如下 : : n(a+a_n) : : Sn＝-------- 所以不可能有常数存在 : : 2 : : 定理：最简分数a/b是有限小数 <＝> 分母b的质因数只有 2 或 5 : : ＝> : : 设a/b是有限小数，且小数有n位 : : 10^n(a/b)＝m m是自然数 : : bm＝a(2x5)^n 因为b和a互质 b∣(2x5)^n : m也有可能会整除(2x5)^n啊~~~?? if A、B≠0 AB＝M 则 A∣M and B∣M that's all : : 所以b只含质因数2或5 : : <＝ : : b＝2^(α)5^(β) : : a a a2^(β－α) a2^(β－α) P : : ---＝ -------------- ＝--------------＝-------------＝-------- 为有限小数 : : b 2^(α)5^(β) 2^(β)5^(β) 10^(β) 10^(β) : 那不知道这位大大知不知道「循环小数就是分母有2或5以外的质因数」怎麽证??? 我想先澄清一些概念 a.过去所谓的整除，就是除出来为『整数』 其实整数也是无穷循环小数，定义为：在小数点後第一位做0或9的『单节』无穷循环 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 例如6/2＝3 3＝3.000000.....＝2.99999...... b.过去所谓的『有限小数』 就是定义在小数点某位数（非第一位）後，发生以0或9的『单节』无穷循环 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 例如 3/10＝0.3 0.3＝0.300000000.....＝0.299999....... c.过去所谓的『无穷循环小数』 就是在小数点某位数後，发生以非0或非9为无穷循环 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ _ 1/3＝0.33333333.....＝0.3 （单循环节数） ______ 1/7＝0.142857 142857 142857.....＝0.142857 （六循环节数） 另外，『循环节数』不会超过分母的数字大小..... 例如1/7， 7的余数只有7个（含0），他的『循环节数』最多能维持6个 当你接受这样的讲法之後（本来就该是这样子定义） 那麽只要再证明有理数可展成循环小数，就可以了 ----------- 我的命题如下： a、b属於整数，a≠0，则 b/a 是有理数 有理数必可表为无穷循环小数.....循环节数必小於a Pf: argue一下，凡不是『有限小数』， b/a都可以得到不为 0 的余数 （否则为有限小数） 於是继续长除法下去.... 在过程中所得到一切互不相同的余数， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 必定是在 1～a－1 之间，就余数值而言，最多只有 a－1 个可能性 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 意思就是说....最多除 a－1 次，某余数 s（当然小於a）必定出现第二次 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ （此即鸽龙原理的精神） 而其後余数都将以 s 第一次出现时，其後各余数的顺序不断反覆出现， 如此循环节数必小於a..... : 谢谢辛苦的解答!! --

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