登场人物： 苏格拉底 柏拉图 地点：雅典学院广场 ----------------------------------------------------------- _ _ 柏：老师，请问 0.9 究竟是不是 1？ 0.9＝1吗？ 苏：我倒问你，他不是1吗？ 柏：你可以现在就给我一个答案吗？ 撇开您过往的迂回曲折、撇开峰回路转好吗？ 苏：不，朋友，即使我有这个能力，也不会这麽做... 这也是为了你的缘故，不努力得来的智慧，几乎是没有价值的.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 大家都笑称我是一个『思想上的接生婆』，其高明的手腕连斯巴达人都耳闻.. 呵呵～～～只是我再怎麽高明，却无法让一个不出力气的产妇诞下生命... 聪明的柏拉图，我想你一定能体会我的用心与感受.... 柏：亲爱的老师，您永远是对的...请让我追寻你的脚步.... _ 苏：0.9 是个数吧？你能回答我他是哪一类数吗？就你所了解的『数』 柏：他是有理数，这我很肯定...所有的有理数都可以表达为无穷循环小数。 苏：问题不会这样就可以解决了！ 我们需要再更努力一点..... 请施舍你心中的疑问，让我同你烦恼、同你喜悦..... 柏：是这样子的，本来这不该是什麽问题，我也从未曾烦恼... 对了....您知道爱琴海上有个PTT岛吗？ 离特洛伊城没有很远...他们是亚特兰提斯的後裔.... 和诡辩学派（Sophists）不同，他们也同你我一样信仰理性主义.... _ 总之....那里盛传 0.9 的极限等於 1，并且在哲人间广泛讨论.... _ 他们捎来一封信告知...目前进展仍无法突破 0.9 的确切值.... _ 有一位年轻人叫child，他甚至利用自然数的性质证明了 0.9≠1 PTT岛的爱智者呀～～，我为他们的困扰感同身受..... 苏：孩子，现在是公元前五百年，你前卫的思想几乎冲昏了我 现在的你...思绪有太多的杂质， 如果你周遭的空气声影杂沓...请沉甸一下心灵。 斯多葛派的创始人芝诺（Zeno），他无法解决的极限问题...我们又能奈何呢？ _ 或许问题真的没有这麽复杂.....诚如你刚刚回答我的....0.9并不神秘呀！ _ 我想再罗唆一次..... 0.9是一个什麽数？ 柏：他是一个有理数，是一个可比的数！ 苏：那我们没有必要陷入芝诺的诡论， 或是重蹈毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的後尘... 毕氏似乎发现了一点有趣的东西.... 柏：正方形的对角线长是不可共度的，换句话说...他们找到了无理数 √2 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 为了不撼动毕氏学派理论的基础，听说还有人为此牺牲了生命.... 苏：√2前阵子才被发现，是希帕索斯（Hipparchus）的成就.... 公元前五百年的现在...或许目前这世界上还没有人真的懂他... 你刚刚所说的什麽『极限概念』....也就是芝诺的那套说词 可能真的有一天会派上用场来解释无理数的奥妙，甚至更多东西.... _ 但是我们人类目前并不懂极限，而 0.9 这玩意如你之前所认知的.... 并不存在神秘性，他是可爱的有理数，杀小鸡不需要青龙偃月刀吧！ 关於这点...你同意吗？ 柏：是的，亲爱的苏格拉底，只是我心中的疑惑仍在..... 苏：我了解。或许我们可以换个角度，让凯撒的归凯撒、极限的归极限.... 想请问....聪明的柏拉图：你能给我一个最大的自然数吗？ 柏：为什麽我们忽然讨论起自然数？老师，你又来了...让人搞不懂你呀！ 自然数当然没有最大的....穷尽全人类所有的寿命也举例不出来... 苏：追求真理与热爱智慧的路上，不该有这种武断式的对话..... 今天....你是来同我讨论智慧，还是研究教条？ 你还记得归谬法吗？听说那是数学家们『精致的武器』（fine weapon）！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 希帕索斯用他找到了无理数，也就是√2 不可公度的证明... 或许『弃盘战术』可以帮我们杀出一条生路，要不要试试看呢？ 柏：希帕索斯为真理付出生命，只怕这种执着将後继无人.... 我虽天资驽钝，愿意全力以赴，只是老师，你要帮帮我呀～～～ 苏：我们两人目前是一起陷入泥沼....说互相帮忙会更适合.... 你瞧～～～那里有棵荫凉的大树，旁边有一块沙地， 沙地上的数学家不会及身而绝的....只但愿可别牺牲生命了... 我们就坐在沙地边乘凉边讨论吧！走！你顺便折个树枝当笔用！ -------------------------------------- 定理 1 自然数不存在最大元素 pf： 柏：现在假设自然数存在最大数 M （切记，M 现在是最大自然数，我假设他存在） 则，M^2 是自然数 苏：为什麽 M^2 是自然数？ 柏：因为 M 是自然数，具有乘法封闭性。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 并且 M^2＝ M 苏：M^2 怎麽会等於 M 呢？ 你肯定要说服我 柏：老师，因为M^2 是自然数，M 现在是最大自然数， 所以 M^2 不能大於 M，也不能小於，根据三一律，只能等於！ M^2－M ＝0 M（M－1）＝0 我们得到最大自然数M＝0 或 1 ，因为0不是自然数 最大自然数为 1 显然矛盾 -><- 故假设错误，我们证明了最大自然数不存在...使用的是『归谬法』！ Q.E.D. ----------------------------------------------------- 苏：很好，爱真理要胜过爱老师.....我们已经有了第一个结论.... 『自然数没有最大元素』 我的心里有一种声音在回荡，每次在独思冥想时..心灵深处就会发出那悦耳天籁 离目标越来越近了.....亲爱的柏拉图，我们要有信心 现在可以请你说一说对於以下故事的看法吗？ "古时候...在『数学国』有一个老兄叫愚公，他天真的想要把太行山用铲子移走 这任务的确庞大，村里的人都笑他不切实际， 愚公回答：『子又生孙，孙又生子﹔子又有子，子又有孙。 子子孙孙，无穷匮也。而山不加增，何苦而不平？』 你认为愚公可能达成这个『不可能的任务』吗？ 柏：您又再戏弄我了....讨论才刚加温，现在又跳到愚公移山去了.... 苏：别生气，我的朋友.....我是很严肃的跟你讲这个故事的... 你不看我的面子，也同情一下愚公吧！ 不觉得他很可怜吗？ 聪明的柏拉图，或许以你的智慧可以帮他想想办法？ 柏：好吧！我认为...在『数学国』里，愚公的确是可以移山的... 不论山多大（M多大），一铲多小（a多小）， 必定存在一个自然数 n 使得山被愚公挖光 （na＞M） 苏：很好！愚公住哪里？ 柏：数学国... 苏：数学国的语言不是这样的...他们不用希腊文 你能帮忙把愚公移山的故事翻译成数学国的语言吗？ 柏：任给两自然数 a、M，必定存在一个自然数 n 使得 na＞M ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 苏：我的好朋友，赶快拿起我们『精致的武器』吧！ 『弃盘战术』真不是盖的.... ---------------------------------------------------- 定理2 任给两自然数 a、M，必定存在一个自然数 n 使得 na＞M 柏：照惯例罗～～～我现在假设 定理2 不成立， 也就是对於 n 属於所有自然数，存在两自然数 a、M，使得 na≦M 於是 n≦ M/a ，等等.... n 可是属於任意的自然数耶 n≦ M/a 不就宣称自然数系存在最大元素吗？ 这不就跟我们刚刚证明过的定理1矛盾 -><- 故 定理2 成立 Q.E.D. ---------------------------------------------------- 苏：看在宙斯（Zeus）的份上，我们应该勇往直前... 柏：但愿戴菲尔女神可以预言接下来我们该怎麽走.... 搞了半天的自然数性质，我们真的是走在宙斯庇佑的道路上吗？ _ 还记得咱们的目标是 0.9 是否等於 1 吗？ 我们帮愚公移走大山，却留下自己一堆问题，迷失了方向.... 到目前为止，结论是一无所获....我得到了什麽？ 苏：孩子，我恳求你年轻的心不要太过急躁，并且千万别总想着报偿.... 追求真理的过程...本身就是一种享受， 有一件不寻常的事情在荷马（Homeros）的史诗里透露给我们.... 《伊利亚特》里的海伦（Helen），你知道的.... 对每个追求者都怀疑是否真的爱她...或是对她感兴趣只是因为王位与财富.... 她要一个丈夫爱她，只是因为她的美丽、机智与妩媚.... 同样地....数学只对那些接近她出於纯爱，只为了她本身的美显示她的秘密 如果一个人对於每一步都急切的问：『我能从她得到什麽？』..... 那麽这个人必走不远。 孩子，或许梦想就在不远前方，但愿我们能更坚忍卓绝..... 柏：伟大的苏格拉底，您为经师亦为人师，请原谅我的莽动与无理.... 苏：人生有的是时间忏悔，现在有更重要的事情摆在眼前... 不过我们或许该先感谢一下希帕索斯.... 他让我们对『数』的认识大开眼界， 我的孩子，大开眼界後的数字王国....成员是哪些呢？ 柏：你看看这样写的正不正确.... 自然数 Ｕ 零与负整数 Ｕ 分数 不尽根 Ｕ 超越数 ∣← 有理数 → ∣ ∣← 无理数 →∣ 苏：就我们所了解的是这些了.... 孩子，我但愿你不要太奢望从我身上得到什麽答案， 这个期待会让你失望的.... 『我只知道一件事情，那就是我一无所知』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 柏：请容我随着您的智慧亦步亦趋了.... 首先，我们『实在的数』....或称实数好了，现在有两个集团... 有理数集团 以及 无理数集团， 这两大联盟抱在一起构成了『实数王国』！（惊！） 等等....我好像也有『天籁』了.... 原谅我的冲动！再不写下来我只怕稍纵即逝.... 刚刚我们所论证的 定理2， 如果把『任给两自然数 a、M』， 改成『任给两个正实数 x、Y』 定理2 是否为真确呢？ 苏：我想...咱们已经共识了自然数没有最大值，这就已经说明了一切.... 数学家会比较喜欢这麽讲吧！ 『自然数是上方无界的！』 --------------------------------------- 柏：改良版本 定理2*，也就是... 『任给两个正实数 x、Y，必定存在一个自然数 n 使得 nx＞Y』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 若是 定理2* 非真！ 那麽依然会造成『最大自然数存在』的荒谬结论....所以定理2*为真 --------------------------------------- 苏：你的成长真的超乎我的想像.... 所谓...弟子不必不如师，师不必贤於弟子... 老头子苏格拉底汗颜，直能说後生可畏... 对了...我还记得你之前所提到的....PTT岛上的爱智少年 child， _ 你说他证明了0.9≠1，并且不是用虚无飘渺的『极限术语』 可以再说一点详情吗？ 柏：是这样的....那孩子使用数学归纳法， _ _ 也就是自然数的基本性质证明了 0.9＜1，再根据三一律直接推论0.9≠1 真是聪明的孩子.... 只不过他的家教老师 yonex 宣称..已在他的论证过程中找到错误，但还没发表... 苏：嗯....就算yonex找到child证明过程的瑕疵....也并不代表问题被解决了.... 只能说child的证明错误而已.... 如今我们花了一个下午的时间，也得到一点收获... 要不要回头看看原来的题目，我们已今非昔比.... 即便没有收集到足够的工具，勇气也该酝酿够了.... 柏：老师，请让我试着看看.... --------------------------------------------- _ 定理3 0.9＝1 pf： 柏：根据三一律， a＜b ； a＞b ； a＝b 三者必居其一 _ 0.9 显然不可能大於 1 现在这个定理....变成了『二选一』的问题.... _ 若我能得到 1＜0.9 非真，结论就出来了.... 把精致武器利用的淋漓尽致，就是贯彻始终地来个『数学归谬法』 _ 假设 0.9＜1为真， ^^^^^^^^^^^^^^^ _ 令 x＝1－0.9 ＞0 取 Y＝1 好了，根据定理2* ，必定.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 苏：等等，我的朋友....可以这样子随便取x、Y吗？ 柏：老师，我只要随便找一个例子，而能让结果荒谬，证明就完成了... 何况 定理2* 告诉我们，x、Y 只要是大於零的正实数，是可以任意的... 这里并没有违反 定理2* 的条件呀！ 弱水三千，我只取一瓢而饮.....请容我继续下去.... _ 令 x＝1－0.9 ＞0 取 Y＝1 好了，根据定理2*， _ 1 必定存在正整数 n，使得 （10^n）x＞ 1 ， x＝1－0.9＞ --------- （10^n） 1 _ _ 1－ -------- ＞ 0.9 所以 0.9999.......9 ＞ 0.9 (10^n） ∣← n个9 →∣ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ _ 这是个荒谬的结论 矛盾 >-< 故假设 0.9＜1 为非真 _ 0.9＝1 Ｑ.Ｅ.Ｄ. ----------------------------------------------- 老师，我终於完成了..... 您无私而诚挚的循循善诱，我只有感动的说不出话来... 苏：孩子，智慧的灵光早就已经潜藏在你回忆的深处...我只是把他唤醒而已... 苏格拉底是个『接生婆』，但绝不是个『填鸭者』， 我只知道我一无所知呀～～～..... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 柏：值此理性绽放光芒的一刻，我压抑心中的喜悦，不禁悲从中来... 老师....雅典在马拉松之役战胜，全城欣喜若狂... 而罗伯奔尼撒之役的惨败，则恐怕会掀起一阵腥风血雨， 我多麽担心你的处境，已经有谣言对你不利，当权者似乎想找一个代罪羔羊... 苏：孩子，我亲爱的柏拉图....他们若杀了我，就很难找到像我这样子的人了... 容我用粗鄙的口吻来说：我是神赐给这城市的牛蚋.... 牛因肥大而懒惰、迟钝，需要牛蚋的叮咬刺激， 神把我赐与雅典，让我随时催促他们前进，唤醒他们，苦劝、苛责他们 而雅典人却向一个从沈睡中忽然被唤醒的人那样，大感愤怒、恼火.... 恨不得立刻置我於死地......从此他们的余生就可以在浑浑噩噩中度过.... 柏：你已经吞下不少苦药... 苏：..... 柏：恐怕药太苦了.... 苏：亲爱的柏拉图，我会畏惧什麽呢？ 我吃给你看，我还有一杯毒酒呢！ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.107.200 ※ 编辑: yonex 来自: 203.67.107.200 (03/23 11:48)