child：为什麽依照『数学归纳法』的程序，可以拿来证明数学？ yonex：孩子，不管你开不开心，好歹你学了好几年的数学， 应该能够体会....一件对的事情（定理），才能拿来证明其他事情（定理）， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 换句话说，定理W是正确的，必须由定理V推导而得，而定里U又要由先前的定理导得... ......←定理W ←定理V ←定理U ←....←定理A ←.... 这样下去肯定没完没了，总是要有一个『不用被证明的开端』！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 那个『开端』不能称为『定理』！ 因为他不用被证明（不证自明），是一个『不能问为什麽』的东西.... 我们称这个『开端』叫做『公设』，而下面程序就称为『公设演绎法』 『公设』→定理A →....→定理U →定理V →定理W →..... 『乘法交换律』就是一条公设， 同一个矩型面积，『长乘宽 等於 宽乘长』...你不能问为什麽！ 那我现在跟你讲....『数学归纳法原理』，就是一个『公设』（Peano第五公设） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 对於『公设』，你不能问为什麽，但是稍後我会跟你解释！ （需要解释是因为...这个公设『长得有点复杂』，到时候...我肯定可以让你接受） 现在我只能要你『先』接受...否则我们就无法继续讨论下去 好！...既然我们一起共识了数学归纳法原理（公设）是不证自明的， 那麽在这个『先设条件』为前提下 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 就可以用『他』来证明....其他事情（定理）也是『先设条件』下的『真理』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 这就是『公设演绎法』的精神，事实上也是『数学的基本精神』.... 我们现在可以开始探讨，使用数学归纳法原理的程序...来证明定理了 kh749：我先再次说明一下数学归纳法原理： ------------------------------------------- 令P（n）为一个『叙述』（叙述就是集合） 验证两件事情： a. P（1）成立 b. 由P（k）成立前提下，导出下一个P（k+1）也成立 （当然k只能是自然数） 则，P（n）这个叙述对所有自然数都成立。 ------------------------------------------- 假设n＝k时成立,（切记，目前还是假设）此时,若能推出n＝k+1也成立（需论证） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 那麽b.这个步骤就算完毕了 但是你不要忘了... 你只是得到...『若』n＝k,该叙述成立的话,n=k+1也成立 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 并没有找到一个自然数 k 啊!!... 『你要找到ㄧ个对叙述成立的自然数k』,才能使得n＝k+1也是成立的 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 然後才可以经由你已经论证过的b.步骤.......一个推一个 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 由k得到k+1,由k+1推到k+2,由k+2推到k+3 （就像骨牌推倒一样） 为什麽可以一个推一个？...因为你已经论证了步骤b.了 问题目前在於...那个成立的自然数k要怎麽找？ 所以我们要验证 n＝1 对於叙述是成立的... 如果n＝1成立,根据步骤b.（骨牌推倒）则n＝2也成立 n＝2成立,则n＝3也成立.... 因此对於n属於自然数，叙述都可以全部成立了.... yonex：kh749老师讲得非常好.... 我再提醒与补充几点... 1.第 n+1 个『骨牌』被推倒，只能用第 n 个骨牌去推，不能使用『外力』 ^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^ 2.只有第一个骨牌（也就是步骤a.）你可以使用外力去推倒（导） （当然...一个叙述不一定从第一个就为真，你也可以从第三个开始） 3.有时候...P(n)这个叙述的设定，要一点点训练，这不难，但很重要！ 4.骨牌的世界就是自然数的世界，骨牌跟骨牌中间，不会有其它的东西， 只考虑自然数为探讨对象，那麽自然数跟自然数中间，不会有其他的数。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 所以数学归纳法只能用来证明：一个叙述之於自然数的定理 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 任何定理若牵扯到有理数或是实数等等....不可使用数学归纳法 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 5.有些定理比较『难缠』，只在步骤a.中推倒一个骨牌，不足以让第n+1个倒下 那麽我们可能要在步骤a.中，一次推倒两个骨牌、三个骨牌....（视情况需要而定） 这叫『第二型数学归纳法』， 数学归纳法有很多型式，但彼此的『等价性』已被证明。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ （第二型数学归纳法，类比於推骨牌，有点像...骨牌比较重的情况， 只推一个动量不够，不足以使第n个骨牌推倒第n+1个....所以在步骤a.要多推几个） 6.『数学归纳法原理』就是自然数系的『Peano第五公设』， 所以也是自然数所具备的....不证自明的性质。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 他很优美，你接受他没有任何坏处， 一个定理对於所有自然数都成立的话，而自然数又有无穷多个， 若要一个一个验证，以我们有涯的生命是验证不完的。 有数学归纳法，我们只要做两件事情....把步骤a.b.搞定就好了... 一句话胜过千言万语，这不正是数学之所以称为『无穷之学』的美妙吗？ child：OK！我同意yonex与kh749两位老师的解说，能否举几个例子！ _ yonex：放心，我会举例的.... 顺便反驳你曾经误用数学归纳法的例子（证明0.9＜1） 不过且让我休息一下，并且这篇文章也太长了.... child：好的，只是...别忘了，你还欠我数学归纳法『本质上』成立的解释喔！ 待续.... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.107.200 ※ 编辑: yonex 来自: 203.67.107.200 (03/23 04:01)