作者Eliphalet (Mournful Monday)
看板trans_math
标题Re: [极限] 台大转学考早年考题
时间Mon Jun 8 13:50:06 2015
※ 引述《BaBi (迅雷不及掩耳盗铃)》之铭言：
: ※ 引述《allenchen821 (Allen)》之铭言：
: : 想请教一下,小弟是不是有甚麽观念没弄懂
: : 1 1 1 1 1
: : lim－>无限[－－－ +－－－+－－－+－－－........+－－－ ]之值为何?
: : n+1 n+2 n+3 n+4 3n+1
: : 谢谢抽空解答.^_^
: 1 1 1 1
: lim (---) [ ----------- + ----------- + ... + --------------]
: n->∞ n 1 + (1/n) 1 + (2/n) 1 + (2n+1)/n
: 2 1
: = ∫ ------- dx = ln(1+2) - ln(1+0) = ln3
: 0 1 + x
: 所以你要请教的观念在哪?
: 你只打了题目上来怎麽让人知道你哪里不懂呢?
骗点 P 币
[.] 不知道是中括号还是高斯符号，我前一篇是把它当作高斯符号
上面写的有一咪咪的问题
1 1 2 dx
lim (1/n) (--------- + ... + ------------- ) = ∫ -----
n→∞ 1+(1/n) 1 +(2n+1)/n 0 1+x
这式子是对的，但是上面论证有一些些问题
上面的式子是从 f(x) = 1/(1+x) 对区间 [0,2] uniform partition 的下和
来下手(没错吧？)
但是 (2n+1)/n > 2，已经跑出去右端点之外了 ...
所以尚需要把 1/(3n+1) 剔除掉
我是认为下面这样写比较不会被挑毛病
1 1 1 1 1 1 1
----- + ----- + ... + ------ = {----- + ----- + ... + ----} + ------
n+1 n+2 3n+1 n+1 n+2 3n 3n+1
= (1/n) {1/(1+1/n) + 1/(1+2/n) + ... + 1/3 } + 1/(3n+1)
故 lim { 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(3n+1)}
n→∞
= lim (1/n) {1/(1+1/n) + ... + 1/3}
n→∞
2 dx
= ∫ ----- = ln(3)
0 1+x
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1F：推 allenchen821: 谢谢您的解答,第一次看到用euler constant 解 ,小弟 06/08 19:24
2F：→ allenchen821: 弟资质驽钝,要再研究一夏,谢谢你提供这方法 06/08 19:26
3F：推 BaBi : 这篇写得比较详细一点，上面我这样写在计算的确会有 06/08 22:57
4F：→ BaBi : 被挑小毛病的疑虑:) 06/08 22:58