作者yhliu (老怪物)
看板trans_math
标题Re: [极限] 证明极限连续,可微
时间Sun Dec 21 09:09:49 2014
※ 引述《skyghostlove (Chris)》之铭言：
: 各位好:
: (1)
: 1
: g(x)= sin──, x≠0
: x
: 0 , x＝0
: 则g(x)在x=0处是否连续?说明之.
要证明不连续, 可以由定义, 证明
存在 ε>0, 使得对於任意 δ>0 都能找到 x 满足
|x-0|<δ 且 |g(x)-g(0)| = |g(x)| ≧ ε
取 ε=1/2, 不难找出 x 满足上述条件, 例如
取 x = 1/[(k+1/2)π], 其中 k 是正整数,
无论 δ 取多少, 只要 k 够大, 必能使 0<x<δ,
而 sin(1/x) = sin[(k+1/2)π] = ±1, 即 |g(x)| = 1 > ε.
另法是证明 lim_{x→0} sin(1/x) 不存在, 如此 g(x)
当场就不连续. 而要证明这点, 只要找到一个数列 {x_n}
收敛到 0, 但对应的数列 {g(x_n)} 不收敛. 因为如果
lim_{x→0} g(x) 存在, 任意非 0 而收敛到 0 的 {x_n}
必然使 lim_n g(x_n) = lim_{x→0} g(x).
这方法有一个更简便的是取两数列 {x_n}, {y_n}, 分别
均非 0 而收敛到 0, 但 lim_n g(x_n) ≠ lim_n g(y_n).
: (2)
: 1
: f(x)= xsin── ,x≠0
: x
: 0 ,x＝0
: show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0.
: 刚碰到证明题,不知该如何下手?
: 烦请高手解说.
一般初学者用夹挤定理做这题的 "连续" 子题, 可能会写:
∵ |sin(1/x)|≦1 ∴ x≠0 时 -x ≦ f(x) ≦ x.
这样写疏忽了一件事实, 那就是 x 可能是负的.
正确地写法是 -|x| ≦ f(x) ≦ |x|,
当 x→0 时 lim |x| = 0, 所以得 lim f(x) = 0.
至於 f(x) 在 0 不可微, 只要考虑导数定义式:
f(x) - f(0) x sin(1/x) - 0
lim ------------- = lim ---------------- = lim sin(1/x)
x→0 x - 0 x→0 x - 0 x→0
而最右一式已证其不存在, 故得证 f'(0) 不存在.
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1F：→ yyc2008 : (2) 0 ≦ f(x) ≦ x 12/23 17:48
2F：→ yhliu : (2) 0≦ f(x) ≦ |x| 当 x≠0 01/05 09:17
3F：→ yhliu : 注意 x 可能为负值. 因此 f(x) < x 是错的. 01/05 09:18
4F：→ yyc2008 : 我忘了加绝对值 想说的是f(x)恒大於等於0 所以没有 01/05 14:55
5F：→ yyc2008 : 你会说的问题吧? 01/05 14:55
6F：→ yyc2008 : xsin1/x ≧ 0 01/05 14:56
7F：推 keith291 : to 楼上,f(x)并不恒非负 无聊的例子 : x=2/(3π) 01/05 16:50
8F：→ yyc2008 : 对 我没仔细想清楚 01/05 17:10
9F：→ yhliu : 2F 也是错的. 不过, 即使 f(x) 非负, 也不能写 01/07 09:21
10F：→ yhliu : -x ≦ f(x) ≦ x. 01/07 09:22
11F：→ yyc2008 : |f(x)| ≦ |x|应该最浅显没问题 01/07 14:09