作者Eliphalet (一点浩然气,千里快哉风)
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标题Re: [微方] 重力位
时间Sat Mar 1 09:51:36 2014
※ 引述《jamalmit (Major)》之铭言:
: 请教各位大大
: ΔV=-4πGρ 该怎麽推导阿= =
: V=Gm/L (重力位) (L:距离)
: G (万有引力常数)
: ρ(质体密度)
: 我的想法是从重力位的积分形式去推
: V=G∫∫∫(ρ/r)dv
: ΔV=Vxx^2+Vyy^2+Vzz^2
: 我积出来怎麽都是0...= =
: 我该怎麽表示出距离与地球半径之间的关系
: L>R ΔV=0
: L<R ΔV=-4πGρ
: 感谢
因为你的 V 算的有问题... 这个可以直接算
因为只跟距离有关,不失一般性,可以只计算 ΔV(0,0,L), L < R
设地球质量是 uniformly distributed,
=> V(0,0,L) = Gρ∫ [1/sqrt(x^2+y^2+(z-L)^2)] dxdydz , B_R = B_R(0)
B_R
R π 2π r^2 sinφ dθdφdr
= Gρ∫ ∫ ∫ ------------------------------
0 0 0 sqrt(r^2 + L^2 - 2rLcosφ)
R π r^2 sinφdφdr
= 2πGρ ∫ ∫ ------------------------------
0 0 sqrt(r^2 + L^2 - 2rLcosφ)
R r r^2+L^2+2rL du
= 2πGρ ∫ ----- ∫ ------------ dr
0 2L r^2+L^2-2rL sqrt(u)
R r
= 2πGρ ∫ ----- [ (r+L) - |r-L| ] dr
0 L
= 2πGρ( R^2 - 1/3 * L^2)
也就是说,当 |x|=r, V(x) = 2πGρ( R^2 - 1/3 * r^2)
因为 V 是 radially symmetric, |x| = r 时
ΔV(x) = V_{rr} + 2/r * V_r
= - 4πGρ
有错请见谅
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◆ From: 114.46.203.163
1F:推 jamalmit:非常感谢 03/03 12:56