应板主要求, 前来分享我对於微积分教科书的一些感想. 因为本人最近生活有些混乱, 一时难以静下心来好好写, 已经拖欠一段时间了... 现在赶快来写一篇, 不敢保证这篇的品质, 但以後会尽量回来修文. 为什麽要对微积分写书评? 很多人觉得, 微积分课本都一样,随便挑一本就好啦. 是的,大部份的微积分课本 若就"内容有哪些"来说, 的确是大同小异 只有少数课本会跟大家比较不一样 但即使是内容大同小异 仍然会有写作逻辑、阐释方式、插图精美度甚至习题安排 等等之不同 就我个人来说, 我当年就是同时读好几本书 我并没有专注於一本然後从头读到尾 而是一个主题同时看好几本, 看看各个不同作者的不同阐释 这会帮助我更看清它的全貌 之前就曾经看到某位板友, 卡在Stewart对chain rule的证明读不懂 我去翻翻後 发现它的证法的确算是比较严谨而不是很好懂的 对於非数学系同学可能较难以接受 然而如果读到别种证法就会好懂多了 像是Thomas所用的就十分直观好懂 而它自己也知道这是偏好懂但不是十分严谨 所以它说 Intuituve "Proof" of the Chain Rule 先让你瞧瞧好懂的"proof" 然後 we give a precise proof in Section 3.10 诸如此类 不同作者会有不同的阐释手法、策略 而你如果初学又是自读, 很容易将时间精力花在不必要的地方而不自知 所以如果能选用较适合自己的一两书, 还是会比较好的 大体来说, 英文教科书是好过中文的. 美国的教科书常是尽量写得简单好懂、图例多又精美、穿插的例子也多 如果你有机会去翻翻他们高中以下的数学书 precalculus、geometry、....等等 会发现也跟微积分普物等等教科书差不多的写法 相较之下台湾的高中数学课本简直是不能比 先举些常用的英文书 1. James Stewart http://www.amazon.com/Calculus-James-Stewart/dp/0538497815 很多人推荐的书 讲解得算清楚, 图解也算画得不错, 习题的选用也不错 每章後面还会有 problem plus 提供进阶一点的题目让你思考, 你想跳过不看也无妨 它的向量分析的部份写得算是不错 如果你是选用别本微积分书, 也可以借Stewart这本来瞧瞧 但如果你是商管生农医类的同学, 就不必了 因为通常你们不会学到向量分析 整体来说 Stewart这本算是各方面都蛮优秀的 或许每一方面都有其它书比它好 你可以找出有些书讲解比它清楚、有些书的图例比它好、...等等 但他就是整体来说都不错 2. Salas http://www.amazon.com/Calculus-Variables-Saturnino-L-Salas/dp/0471698040 在大多数的微积分课本当中, 它是相对来说较注重理论证明的 也因此受到一些数学系的老师与同学喜爱 书中所用的色彩比较少, 但我认为不至於因此让插图不好懂 微积分的书在介绍自然指数时, 有几种不同的方法 有些是学极限时就先用极限定义e 再介绍说㏑是以e为底的对数 有些是直接将㏑x定义为某一种函数: y=1/z 底下的面积, 由1到x的部份 然後用很理论的手法, 先讨论说这函数具有某些性质(可能顺便再用积分证明这些性质) 讨论出一堆性质後发现:它就是一种对数! 然後说:我们把这个对数的底叫做e ,接着又继续讨论下去... 後者的手法, 很多同学都会看不懂这到底在干嘛 我个人比较推荐用前者的手法来介绍自然指数 这不但比较好懂 而且数学史上的演进来说是比较接近前者 数学史上其实根本不是用什麽y=1/z底下的面积这回事来开始发展自然对数的 数学有许多东西是这样的 , 在历史上是先有A接着发展出B->C->D等等性质与定理 後来就有数学家说, 我们由C当定义出发, 可以推得D然後再推得A以及B等等 Salas这本书正是用这种方法在介绍自然指数的 其它有些书是两种都有讲, 或只用前者的. 我个人是不知道用後者的手法呈现给非数学系同学看到底要干嘛 每次都一堆同学搞不懂跑来问, 让我费力解释它在干嘛. 唯有对於数学有兴趣的同学, 我才会推荐他读读後者这种说法. 它所写向量分析的部份, 以前的网路书评说它是败笔 我是觉得, 向量分析在初微的课程当中, 本来就算比较不好懂 那麽你遇到较理论一点的书时, 那当然是更不好懂 建议你如果是选用Salas这本书 你可以先读读别的书怎麽讲解向量分析,再回来看Salas 其实它没有这麽不可取, 向量分析的一些运算练习 1 譬如说你要怎麽把距离 r 取梯度、 怎麽把 ─ 取梯度, 乃至於再进阶一点的运算 r 你来看这本书还是会有收获的 但若它是你唯一的书的话, 就会辛苦点了,不建议直接啃. 3. Larson http://www.amazon.com/Calculus-Ron-Larson/dp/0547167024 写得很简单易懂, 插图也很精美 整体的难易度算偏简单 并且它会在某些行的算式 用红色字在右边写一些字 以标明从上一行到此行, 发生了什麽事 这对於数学程度不好的同学来说很有用 因此自认程度不是很好的同学, 我个人颇推荐使用这本 台大数学系张海潮老师有翻成中文译本, 少了向量分析的部份 非理工同学可考虑使用 需要向量分析的同学也可使用, 但就要另外找书补起向量分析 这本书也会在一旁附一些小小数学史让读者参考 我知道大部份的人不会去看, 但有空稍微看一下确实是不错的 4. Thomas http://www.amazon.com/Thomas-Calculus-12th-George-Jr/dp/0321587995/ 这本也是许多人用的名书 它的插图算是很精美的 在preface里它就说到 we realize that figures and illustrations are a crucial component to learning calculus, so we ... 简单来说 就是这本书对插图很用心就对了 除了插图这项优点外, 它的内容也是蛮不错的 稍举一例来说 很多人可能以为, 分部积分时如果用表格速解法, 来取代重复做好几次分部积分 在考试中可能是拿不到分的, 因为课本上没这样教. 其实在Thomas这本书当中, 便介绍到了 tabular integration 所以你修课的班如果是用这本, 那你可以放心用这招 如果在转学考研究所入学考的话, 那抱歉我不确定哈哈 台大的蔡聪明老师有将这本书翻成中文 但翻译原因并不是因为他觉得这本书很好 是因为出版社叫他翻他就翻了 他头一年边翻译边用原文来当上课用书, 隔年翻完则用翻译本 在边翻边用的时候,他就常边上课边骂这本书哪里写得不好 "这些洋教科书实在是.. " 但具体他到底骂了些什麽、他批评时所抱的观点我认不认同 由於我不是当时修课学生, 所以我也不清楚 只是想表达, 不要以为某名系或某名师用了哪本书, 就一定他们觉得这本很好 我自己翻的时候(是翻书来看 不是翻译) 也有发现一些缺点, 但一时想不起来无法举例. 如果可以的话, 请使用原文版的即可 蔡老师的翻译其实不完全是翻译, 加了不少自己的东西进去. 并且删掉许多章节与习题. 蔡老师自己写的东西是很好的, 但不好就在於, 他删得太多. 以致於习题有点少, 可能不能满足你的需求 以及许多章节像是极座标被删掉了, 这很奇怪. 原文当中先有介绍极座标的章节, 後来二重积分有介绍到极座标代换, 边直接接着讲 其它许多书都是直接在极座标代换的那一节,介绍极座标并且使用. 而蔡老师的译本是将专介绍极座标的章节删掉,只剩直接使用的那一节 於是便造成修课同学困扰, 有些习题不会写, 同学拿来问我时我一看, 翻查原文对照下, 发现此种情形. 这题为什麽同学不会, 因为在原书中它是需要你读过专介绍极座标那节的, 现在译本把那节删掉, 而这题又保留, 同学当然不会. 另外还有个缺点, 这本书有很多打错字. 题目错、书後所附解答错 等等 实在很要命 作为主要的用书, 十分不建议使用这本中译本. 但如果你已经读了主要的一两本书, 再来读这本我认为是很好的. 5. Tan http://www.amazon.com/Calculus-Transcendentals-Soo-T-Tan/dp/0534465544 使用率较前面几本可能较小, 前几年台大的李聪成老师曾使用这本当上课用书. 中文译本我看过两种, 其中一种是淡大曾琇瑱老师所翻, 另一种不记得. 这本类似 Larson , 是尽量写得很好懂的 也会在算式右边标红色字以作说明 但其行文有稍微牺牲一些精确性, 所以会读到一些不是很正确的东西. 我个人是认为,对於非数学背景、学习数学时颇感困难的同学来说, 在教学时采用略为牺牲精确性以增加它的好懂性,这样的方式是可行的. 但应该要牺牲到什麽程度算是恰当,就颇难拿捏. 举例来说,要求泰勒级数的收敛区间, 这本书就直接计算此无穷级数的收敛区间. 但级数是收敛的并不等於它会收敛到原来的函数,用词都叫收敛但其实不一样, 必须函数是解析函数时才会这麽方便. -1/x^2 e ,x≠0 在许多书都有提供 y＝{ 这个非解析函数 0 ,x＝0 来让你看看级数收敛区间与它收敛到原函数的区间不相同的例子. 而这本书没有, 它就直接混淆. 虽然很多常见函数都是解析函数, 以致於它这麽做单就结果来说是正确的. 对於只想pass的非数学系同学来说可能也没必要这麽追究, 但对於有志想把微积分学得好学得正确的同学来说, 这就蛮要命的. 另外还有一例, 在做积分变数代换时, 变数与积分范围都是要换掉的. 我猜这本书可能是想慢慢写, 来让读者好懂一点 於是它先换变数, 写一行 接着在下一行再把范围也换掉. 这样步骤写多点,可能会让同学好懂一点, 但中间那行实在不该出现在作答, 只能自己写一旁. 李聪成老师上课时只好强调那行是错的不可以那样写. 总的来说, 蛮不推荐这本. 6. Edward and Penny http://www.amazon.com/Calculus-Early-Transcendentals-Henry-Edwards 这本书可能使用率更低 其实我也只随便翻一下, 要做什麽评论可能很不适合. 我是想说, 我读过作者所写的常微分方程. 觉得写得蛮好的, 某一年台大的林绍雄老师也以这本作为ODE的上课用书 後来在二手书店看到同作者所写微积分 印象中也是蛮好懂、讲解不错,如果它只卖一两百我会收购回来慢慢翻 我对这本书了解不够, 所以无法下定论, 但我推荐如果你有机会,也可以在书店翻翻看这本,看要不要买回来用. 7. Apostol http://ppt.cc/y2P5 作者所写的高微是着名的常用书 我个人相当喜欢, 觉得他很擅於用文字点出一些证明的要点 至於他所写的初微书, 很不同於一般微积分教科书. 对於想增强实力的同学, 我很推荐这本当第二本以後的书 稍举几例来介绍这本书: a. 用一些性质与式子来定义三角函数, 而非用三角形定义 , 接着以此出发, 来证明一些三角函数的公式. b. 先讲积分 再讲微分. 这其实也比较贴近数学史的发展. c. 在讲多变数之前, 先介绍些线性代数以便使用, 所以你也顺便学了线代 d. 附赠微分方程、机率、数值分析来让你看微积分的用处, 所以你又顺便学了微方机率和数值分析. e. 行文中参了一些高微的东西. 如果你读他写的高微, 会发现每章的refference里有他自己写的初微 中文书的话 1. 杨维哲 http://findbook.tw/book/9789571405421/basic 杨老师行文很有个人风格 他的上课与写书, 在观念上对学生是很有启发的 我个人的教学也深受影响. 但老师自己可能太天才了, 较难体会资质不是很好的同学. 因此他的课程与书, 较不适合数学不太好的同学, 会让同学觉得难以跟上. 不过如果你能听懂他的课、看懂他的书, 就真的很棒 我以前即使重感冒也要去听他的课. 你如果觉得自己程度不太好, 你可以做为辅助地翻阅一下这本书 概念阐释、常见误解澄清、进阶技巧演示等等 是这本书的优点 缺点是有些名词是自己独创, 初学者难以与其它书对照, 以及中文书作者常觉得自己所附习题量够了, 但其实蛮少的. 2.翁秉仁 翁老师鉴於原文书常是很厚重一大本 习题很多、取材又杂 所以自己写一本中文书给生农商管医的同学 希望减轻同学的修课负担 这样的用心我个人很推崇 但这不等於他写出来的书很好 这本书常讲解不清、算式太简略以为同学都读得懂能补上省略的部份 虽然教材厚重是个负担, 但我想太过简略会是更大的负担. 习题不但太少, 有时还很怪, 譬如说函数作图题大部份都很不好画 或是连我和其它助教也要想半天这题是想问什麽、表达什麽.. 介绍机率统计, 但写得很数学, 很不统计, 修过统计的同学重修微积分也看不懂这本书想表达什麽 我觉得许多数学系出身的人, 比较难以同理非数学背景的同学 以致於在教课写书的时候, 使用了太偏向理论证明的方式, 或是有些自以为很好懂的地方草草带过, 但其实同学不太能跟上 而这本书就是很充分地体现出这样的特色 其实这本书也没有完全很理论很沉闷, 其实也是有试图阐释的. 不过有试图这麽做并不等於做得很好... 总的来说, 初学且自读的人 ,会不易读懂, 要有老师带 如果你是因为台大的微乙多年使用这本, 而想添购这本书来用的话 奉劝你: 回头是岸 3. 自己评自己可能很奇怪, 不过我自己也有在写 我是用blog的方式, 个别主题地写 http://calculus.yuyumagic424.net 等分别写好才会统整、修改再出书, 目前只是先求有再求好 先讲缺点吧 如我前面所说, 试图这麽做不等於会做得好 我是尽力想阐释得很好懂, 但我不见得做得很好 还是会有让人不太懂的地方 以及我是独力完成, 所以打字错的实在很多,甚至会发现有计算错的.. 或者是出於我学养不足的错误, 这也是有可能的 而且才写一半而已, 要当唯一教材根本不可能 我最近自己也有点忙乱, 已经一段时间没动笔了 不过我真的很试图要写得比较不一样、比较好懂 譬如说极限的严格定义 http://calculus.yuyumagic424.net/?p=26 积分的变数代换 http://calculus.yuyumagic424.net/?p=85 泰勒展开 http://calculus.yuyumagic424.net/?p=104 我想作为辅助应该还是合适的, 你可以参考一下 介绍完以上这些 再简单推荐向量分析的书 向量分析 原理及题解 斯派格(Spiegel, Murray R.)撰 黄子琴译 谁怕向量微积分 : 散度、梯度、旋度 H. M. Schey原着; 林和,洪志诚,杨志彬译 向量分析 林琦焜着 如果你觉得向量分析很让你头痛, 就先翻翻这几本吧! --

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