作者newversion (海纳百川天下归心)
看板trans_math
标题Re: 积分问题
时间Sun May 19 18:30:47 2013
※ 引述《metastable (清士)》之铭言：
: If b > a > 0
: ∞ arctan(bx)-arctan(ax) π ︱ b ︳
: (a)∫ ------------------------ dx = ---- ㏑︱---︳
: 0 x 2 ︱ a ︳
: ∞ cosax - cosbx ︱ a ︳
: (b)∫ ------------------------ dx = ㏑︱---︳
: 0 x ︱ b ︳
: -ax -bx
: ∞ e - e ︱ b ︳
: (c)∫ ------------------------ dx = ㏑︱---︳
: 0 x ︱ a ︳
: 三题 有谁能告诉我他怎来的吗 ??
这个叫 Frullani's Integral
lim f(x) 存在 记做 f(∞)
x->∞
∞ f(ax) - f(bx)
∫ -------------------- dx = [f(∞) - f(0)] ln (a/b)
0 x
这三题 f(x) = arctan, cos, exp 都有很好的性质，可用积分交换顺序
更一般的CASE， f(x)只要连续，不一定可微，就不能用积分交换顺序了
不过证明颇难，之前老师有教过，现在忘光光了！
对了， (b)小题并不满足 Frullani's Integral条件
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◆ From: 140.112.251.86
※ 编辑: newversion 来自: 140.112.251.86 (05/19 18:39)
1F：→ BaBi:受教了 Orz 114.46.149.152 05/19 18:42
2F：→ BaBi:刚刚翻了下Wolfram和wiki, 条件好像是 114.46.149.152 05/19 18:43
3F：→ BaBi:f'(x)连续且积分值收敛 114.46.149.152 05/19 18:43
4F：→ newversion:Wolfram 条件太强了 140.112.251.86 05/19 19:08
5F：推 metastable:推~~ 140.114.123.74 05/19 19:23