※ 引述《Edward56 (白面书生段誉 )》之铭言： : 我看不太懂chain rule的证明所使用的概念 既然你的问题出自於 chain rule 的证明, 就谈一下这个 证明好了. 设 y=f(x), x=g(t), 所以 y=f(g(t)) The chain rule 说: 若 g 在 t=a 可微, f 在 x=b=g(a) 可微, 则 f(g(t)) 在 t=a 可微, 且 (d/dt)f(g(t)) = f'(g(a))g'(a) 依 "单变数可微就是导数存在" 的结论, 要证明 f(g(t)) 在 t=a 可微, 要考虑的是 Δy/Δt ≡ (f(g(a+Δt))-f(g(a)))/Δt = Δy/Δx．Δx/Δt ≡ (f(g(a+Δt))-f(g(a)))/(g(a+Δt)-g(a))． (g(a+Δt)-g(a))/Δt 在非正式推导时, 就是利用这个关系, 让 Δt→0 取极限. 然而, 在正式证明中会发现: 这式会发生问题, 因为我们 无法保证 Δt≠0 时 g(a+Δt)≠g(a). 也就是说,上列将 Δy/Δt 表示成 Δy/Δx．Δx/Δt 有可能第一项会出现 "除以 0" 这种不被允许的算式. 因此, 要证明单变数的 chain rule, 有两个方式, 一是: 将分解式的第一项用另一个函数取代: h(Δt) = f'(g(a)) if g(a+Δt)=g(a) = (f(g(a+Δt))-f(g(a)))/(g(a+Δt)-g(a)) if g(a+Δt)≠g(a) 得 Δy/Δt = h(Δt)．Δx/Δt, 而後让 Δt→0 取极限. 另一种方法可以同时适用於多变数函数, 那就是重新定义 "可微分". 这个新定义对多变数函数同时也适用, 那就是: 将 Δy=f(x+Δx)-f(x) 表示成: Δy = A(x)．Δx + ξ(x,Δx)．Δx 在定义中考虑的是单点 x, 例如 x=a. 因此可以简化上式: Δy = A．Δx + ξ(Δx)．Δx 其中 A 是常数 (意思是: A 与 Δx 无关). 而 "可微分" 的定义是: 有一个常数 A 使得上列右式中 ξ(Δx)→0 当 Δx→0 很容易证明这个定义 (在单变数实数函数中) 与导数存在 是等价的, 而且符合可微分定义的 A(x)=f'(x). 回到 chain rule, 显然我们要证明 f(g(a+Δt))-f(g(a)) = f'(g(a))g'(a)Δt+ξ(Δt)Δt 而且 ξ(Δt)→0 当Δt→0. 而我们知道的是 f 在 g(a) 可微以及 g 在 a 可微. 就第一点, 可望得 f(g(a+Δt))-f(g(a)) = f'(g(a))g'(a)(g(a+Δt)-g(a)) + δ．(g(a+Δt)-g(a)) 其中 δ→0 当 g(a+Δt)-g(a)→0. 可是, 前面提过的问题又出现了: 若 g(a+Δt)-g(a) = 0 怎麽办? 因为考虑 g(a+Δt)-g(a)→0 时的极限必须它不 为 0. 所以, 你所疑惑的 "补点" 定义出现了: 定义 δ(0) = 0. 把这 "补点" 的想法带回原来的可微分定义中, 就是 Δy ≡ f(a+Δx)-f(a) = f'(a)．Δx + ξ(Δx)．Δx 其中 ξ(Δx) = (f(a+Δx)-f(a))/Δx - f'(a) 当 Δx≠0 = 0 当 Δx=0 在 f'(a) 存在的前提下, 显然 lim ξ(Δx) = 0. 因此, Δx→0 如上定义 ξ(0) 使得 ξ 在 0 连续 (并非 ξ 处处连续, 除非 f 本身是处处连续). 由此可知: 上述 ξ(0)=0 的定义, 是在证明 chain rule 时必要的一个小程序, 但不是定义 "可微分" 这概念时必 要的; 至於 ξ 在 0 连续, 只是上述定义的一个小结论, 或者说叙述较方便?其实它并不是很重要---看看如何完成 chain rule 证明, 就知道所谓 "ξ连续" (在以下证明中 用 δ) 这概念是否重要了. [Chain rule 之证明] 设 f(b+Δx)-f(b)=f'(b)Δx+δ(Δx)．Δx, δ(0)=0 g(a+Δt)-g(a)=g'(a)Δt+η(Δt)．Δt 又: b=g(a), Δx=g(a+Δt)-g(a). 则得: f(g(a+Δt))-f(g(a)) = f'(g(a))．Δx + δ(Δx)．Δx = f'(g(a))(g(a+Δt)-g(a))+δ(Δx)．Δx = f'(g(a))(g'(a)Δt+η(Δt)Δt)+δ(Δx)．Δx = f'(g(a))g'(a)．Δt + f'(g(a))．η(Δt)．Δt +δ(Δx)．(Δx/Δt)．Δt = f'(g(a))g'(a)．Δt + (f'(g(a))．η(Δt)+δ(Δx)．(Δx/Δt))．Δt 取 ξ(Δt) = f'(g(a))．η(Δt)+δ(Δx)．(Δx/Δt), 则 f(g(a+Δt))-f(g(a)) = f'(g(a))g'(a)．Δt + ξ(Δt)．Δt 而 Δt→0 时: (1) η(Δt) → 0, 因此 f'(g(a))．η(Δt) → 0. (2) Δx→0 (或等於0), 因此 δ(Δx)→0 或等於 0; 且Δx/Δt = (g(a+Δt)-g(a))/Δt →g'(a). 故 δ(Δx)．(Δx/Δt) → 0. 因此, ξ(Δt)→0, 当 Δt→0. ▌ 注意在 (2) 中考虑了 Δx=0 定义此时 δ(Δx)=0. 我们 可以不谈及δ在0连续; 也可以直用 "δ在0连续" 来说明 δ(Δx)．(Δx/Δt) → 0 当 Δt→0. -- 嗨! 你好! 祝事事如意, 天天 happy! 有统计问题? 欢迎光临统计专业版! :) 交大资讯次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率) 成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区) 盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话) 我们强调专业的统计方法、实务及学习讨论, 只想要题解的就抱歉了! --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 114.41.98.234