※ 引述《Edward56 (白面书生段誉)》之铭言： : 想请问以下一题[连续]的题目 : 若h(x) =/------- : \/ 4-x^2 : 请证明h(x)在封闭区间[-2,2]内为连续的 : 解答说 : 本题须采用下列定义 : --------------------------------------- : 一个定义於封闭区间[a,b]内的函数 : 在[a,b]内是连续的 : 若且为若此函数在开放区间(a,b)内是连续的 : 且在a的右侧,b的左侧具有连续性。 : --------------------------------------- : question1. : 我知道连续的三个条件 : 之前遇到的问题都是 : "请问这个函数在某一点是否连续" : 这样我就可以写出那三个条件 : 成立了我就可以写"因此得证" : 但是当要求的连续是一个范围的时候 : 该怎麽写? 通常初微里的这类题目, 当要证明在一区间为连续时, 大多数是已知函数, 然後可能在一些点上出现不连续的状况, 只需要验证在这些可能不连续的点上, 函数是连续的就行了. : 解答直接说h(x)在(-2,2)内是连续的 : 然後他再证明-2,2是否连续 不知道你是看补习班出版品还是原文书, 应该会有提到, 　　　　　多项式函数（polynomials） 、有理函数（rational functions） 、根式函数（root functions） 　、三角函数（trigonometric functions） 在他们的定义域里头都是连续的。 所以下面证明分成两个部分， 　1. 在区间(-2,2)，由合成函数概念知具连续性 2. 在边界[-2,2]，由单边连续概念知具连续性 至於合成函数的连续性用的Theorem… 他的证明又是另一个故事了。 : (这里我会,就是证明这两个点连续) : 还有有人能够提供英文版的证明吗? The function h(x) = (4-x^2)^(1/2) is continuous on [-2,2] because it is continuous at each point of (-2,2), continuous from the right at -2, and continuous from the left at 2. (1) Too see this, note that h(x) = f。g, where f(x) = x^(1/2), and g(x) = 4-x^2. Now take any c in (-2,2), Since g is a rational function and g is defined at c, g is continuous at c. Alos, since g(c) is positive and f is continuous at each positive number, f is continuous at g(c). By the theorem below, h(x) is continous at c. ※Theorem If g is continuous at c and f is continuous at g(c), then the composition f。g is continuous at c. (2) lim h(x) = h(-2) = 0 x->(-2)+ lim h(x) = h(2) = 0 x->(2)- So the function h(x) is continuous from the left at 2 h(x) is continuous from the right at -2 ※ 编辑: BaBi 来自: 114.46.136.10 (08/06 18:45) ※ 编辑: BaBi 来自: 114.46.136.10 (08/06 19:01) ※ 编辑: BaBi 来自: 36.234.226.150 (08/10 19:03)