作者Honor1984 (希望愿望成真)
看板trans_math
标题Re: [微积] 考古
时间Wed Jul 4 12:48:22 2012
※ 引述《craig100 (不要问,很‧恐‧怖)》之铭言：
: an=1 + 1/2 + 1/3 +.... + 1/n -ln(n)
: (1)试说明lim an 存在
: n->∞
: 我的想法:
: 第一题求极限我球不出来 很闷
: 後来想利用|R是complete 用递增有上介 必收敛 但我找不到上介
{a_n}是递减数列....
a_(n+1) - a_n = 1/(n+1) - ln(n+1) + ln(n) < 0 -> 知道为什麽吗?
如果只是要找下界也可以用这种方式找(只是有趣而已)
a_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n)
= [2 - 1] + [3/2 - 1] + ... + [(n+1)/n - 1] - ln(n)
= [2 - ln2] + [3/2 - ln(3/2)] + ... + [(n+1)/n - ln[(n+1)/(n)]]
+ ln[(n+1)/n] - n
考虑f(x) = x - lnx
f(1) = 1, f'(x) = 1 - 1/x > 0 当x ≧ 1
所以f(x)在 x ≧ 1是递增的
因此
a_n ≧ n + ln[1 + 1/n] - n = ln[1 + 1/n] 有下界
=> {a_n}递减有下界 => a_n收敛到某个值
这个值就是传说中有名的Euler–Mascheroni constant
简称欧拉常数γ
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 128.220.147.155
※ 编辑: Honor1984 来自: 128.220.147.155 (07/04 13:04)