作者RAINDD (I'm Kenino.)
看板trans_math
标题Re: [多变] Lagrange
时间Thu Jun 14 17:54:11 2012
原PO你好，你是初学微积分吗？
这题其实不难，甚至也不需要用到Lagrange Multiplier就可以解了。
我这麽说吧，个人以为困难的地方在於初学时"正确"而且"完整"建立观念。
个人分享一些当初学习时的心得与经验，
不敢讲我说得很对，但提出来供你做参考。
※ 引述《blak (纬纬)》之铭言：
: 题目:用lagrange求函数f(x,y)=xy受限於x^2+y^2=8,x>0,y>0的所有极值,解释算出的极值
: 为最大值或最小值
: 我算出来(2,2),(-2,-2)题目说x>0,y>0所以(2,2)代入题目=4
: 请问要如何判断4为最大或最小值?
1. 首先，先想想，什麽叫最大值？最小值？极大值？极小值？
既然叫"大"、叫"小"，就意味着是经过比较得到的结果。
依我看，你困扰的点在於，经过求解方法得到只有一个极值时，
我怎麽知道它是最大或最小？
然而，以这题来看，只有一个极值存在吗？其实还有，只是你缺视了，
2. 即使，真的只有一个极值发生时，你又如何得知它是最大、最小值呢？
举个例： y = x^2 - 2x + 3，我们知道 x = 1 时， y 有最小值 2。
如何知道的？用配方法呀，一阶微分求极值点、二阶微分求开口，
甚至算几不等式、柯西不等式…等任何可应用的方法，
都能帮助找maxima,minima,extrema，且看各凭本事。
3. 再说Lagrange Multiplier方法，▽f = λ * ▽g，
联立求解时，常常不是那麽地在意特徵乘数值 λ 。
若你练习的题目做多了，会发现λ值的大小与"+""-"符号，
似乎能猜知该点是极大值或是极小值。
而微积分课本也并不讨论λ值与extrema的关连性。
於此，我们并不多做讨论，有兴趣的话不妨自行研究或多找题目练习。
: 麻烦大家了~谢谢
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: ◆ From: 118.168.129.208
: 推 beansop:它的限制条件是在一个半径为8^(1/2)的圆 114.46.159.6 06/13 15:45
: → beansop:在第一象限中的区域，所以要讨论边界上 114.46.159.6 06/13 15:45
: → BaBi:讨论边界上和区域内.... 140.135.26.32 06/13 15:46
: → beansop:及圆内的极值发生点，所以你分两个部份 114.46.159.6 06/13 15:46
: → BaBi:基本上就是求出所有临界点, 在比较代入後大小 140.135.26.32 06/13 15:47
: → beansop:然後讨论出来的值作比较，就OK了 114.46.159.6 06/13 15:48
: → BaBi:ㄜ, 插到b大了QQ 140.135.26.32 06/13 15:48
: → blak:还是不太懂..不知道可以麻烦写算式? 118.168.129.208 06/13 15:57
: → blak:请问该怎麽列区域内的算式? 118.168.129.208 06/13 16:16
: → blak:最大值9,最小值0正确吗? 118.168.129.208 06/13 16:56
: → blak:我用Lagrange算答案还是4.... 118.168.139.231 06/13 20:45
4. 开始解题：
依题意，我们先弄清楚目标函数、和限制函数。
目标函数： f(x,y) = x*y
限制函数： x^2 + y^2
= 8、 x > 0 、 y > 0
{依题意，限制函数为在xy平面上，x^2 + y^2 = 8，且 x > 0 , y > 0
为第一象限的四分之一圆弧曲线。
注意，题目并非x^2 + y^2
≦ 8，所以并不包含圆内的区间}
极值发生的地方：(1)
端点 (2)
边界上 {勿忘端点}
(1)端点：(x,y) = (2√2,0) 及 (0,2√2)
(2)边界上：应用Lagrange Multiplier解得 (x,y) = (2,2)有一极值
代入 (2√2,0)、(0,2√2)、(2,2)求f(x,y)并比较大小，
得知最大值为 f(2,2) = 2*2 = 4
最小值为 f(2√2,0) = f(0,2√2) = 0
於此，作答即完成。
若你不放心 4 是否为最大值，就将限制函数x^2 + y^2 = 8参数化再
用单变数函数求极值的方法解看看。
若你能将题目转化成解析几何的意义进一步了解此题那又更好。
5. 补充：
若限制函数为：x^2 + y^2
≦ 8、x>0、y>0
极值发生的地方：(1)端点 (2)边界上 (3)区间内
(1)端点有三：(x,y) = (2√2,0)、(0,2√2)、(0,0)
(2)边界有三：y=0时，0≦x≦2√2、
x=0时，0≦y≦2√2、
x^2 + y^2 = 8。
(3)区间内：解 df/dx = 0
df/dy = 0 之联立方程式。
详细的解答内容，就留给你自己发挥罗。
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◆ From: 124.9.196.6
1F：推 blak:请问端点x.y不用>0吗??118.168.136.224 06/14 18:16
2F：→ RAINDD:x>0之条件，的确不包含(2√2,0)这端点 124.9.196.6 06/14 18:21
3F：→ RAINDD:这样写吧：於限制条件下，0＜f(x,y)≦4 124.9.196.6 06/14 18:24
4F：推 blak:0＜f(x,y)≦4这个式子可以在解释一下吗?118.168.136.224 06/14 18:27
5F：→ RAINDD:f(x,y)≦4,等号成立时发生在(x,y)=(2,2) 124.9.196.6 06/14 18:29
6F：→ RAINDD:0＜f(x,y)，因(2√2,0)不包含在限制条件内 124.9.196.6 06/14 18:30
7F：→ RAINDD:又f(2√2,0)=0为限制条件下之最小值 124.9.196.6 06/14 18:31
8F：→ RAINDD:0≦f(x,y)，"="不成立，故拿掉"=" 124.9.196.6 06/14 18:32
9F：→ blak:真是太感谢你了~我懂了谢谢118.168.136.224 06/14 18:42