作者RAINDD (I'm Kenino.)
看板trans_math
标题Re: [单变] 级数跟瑕积分
时间Sat Jun 2 00:44:38 2012
suhorng真强大，解出此瑕积分之收敛值。许你一个赞！:)
小弟提供一个微积分所教的收敛测试演算。
※ 引述《suhorng ( )》之铭言：
: ※ 引述《sheepyPie (小羊派)》之铭言：
: : 1. 84成大
: : 1 ln(x)
: : S --------- dx
: : 0 (1-x^2)
: 1/2 1/2
: 因为 ∫ln(x)dx 收敛, 因此∫ln(x)/(1 - x^2) dx 收敛. 综合以上, 原积分收敛.
: 0 0
: 接下来我们要用到
: 1 1 1 1 ln(1 - x) 1 ln(t)
: ∫∫-------- dy dx = π^2/6 = －∫-----------dx = －∫------- dt
: 0 0 1 - xy 0 x 0 1 - t
: 对左边的重积分用 x = u+v, y = u-v 的变数变换可以算出来; 或是展开为Σ1/n^2.
: 现在
: 1 ln(x) 1 1 ln(x) 1 ln(x)
: ∫---------dx = ---(∫-------dx + ∫-------dx)
: 0 1 - x^2 2 0 1 - x 0 1 + x
: = -π^2/8
1 ln(x) ∞ -y
∫ --------- dx = (变数转换) = ∫ ----------------- dy
0 1 - x^2 0 exp(y) - exp(-y)
由积分测试得知上瑕积分收敛或发散等同下一无穷级数收敛或发散：
∞ n n
Σ ----------------- ，定义 a(n) = -----------------
0 exp(n) - exp(-n) exp(n) - exp(-n)
a(n+1) 1
应用Ratio Test，lim -------- = --- ＜ 1 ，故级数收敛、瑕积分收敛。
a(n) e
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