作者BaBi (卑鄙)
看板trans_math
标题Re: [考古] 元智 100 资管
时间Tue Jan 31 21:30:23 2012
※ 引述《isong199 (雨中回忆)》之铭言：
: Expand F(X)=2X^3+X^2-3X-5 in powers of X+1.
: 请问一下这题如何解?
其实这种题目很仁慈，属於最基础的多项式的泰勒展开。
实际上偏於高中数学，以下提供两种方法解之。
一、多项式的变形。
F(x) = 2x^3+x^2-3x-5
= a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d
可以利用最基础的，除法。
2x^3+x^2-3x-5 = (x+1)(2x^2-x-2)-3
= (x+1)[(x+1)(2x-3)+1]-3
= (x+1){(x+1)[2(x+1)-5]-3}-3
= 2(x+1)^3-5(x+1)^2+1(x+1)-3
或是使用综合除法。
令 x+1 = 0
x = -1
得 a = 2
+2 +1 -3 -5 |
-2 +1 +2 |-1 b = -5
————————
+2 -1 -2 |-3 c = 1
-2 +3 |
—————— d = -3
+2 -3 |+1
-2 | 故原式F(x) = 2(x+1)^3-5(x+1)^2+(x+1)-3
————
+2 |-5
二、泰勒展开式定义
f(x) = 2x^3+x^2-3x-5
f'(x) = 6x^2+2x-3
f''(x) = 12x +2
f'''(x) = 12
所以 F(x) = f(-1) + [f'(-1)/1!](x+1) + [f''(-1)/2!](x+1)^2
+ [f'''(-1)/3!](x+1)^3
= -3 + (x+1) - 5(x+1)^2 + 2(x+1)^3
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