※ 引述《CaptainH (Cannon)》之铭言： : 题目是 : 1 x 2 : lim -----∫ cos t dt : x→0 x 0 : x : 这很明显就是求 f(x)=∫ cos(t^2)dt 在 x=0 的导数， : 0 : 所以可以直接算出答案=1。 : 你说， : 不好意思，虽然那个极限就是导数的定义不过我看不出来， : 我要用罗必达做可以吗？ : 当然可以，但要用 L'Hopital's rule 计算 lim f(x)/g(x) 是有前提的： : x->a : i) f(x)、g(x) 同时趋近 0 或 ∞ : ii) f(x)、g(x) 在 x=a 可微分(导数存在) CaptainH 大 你的 L' hopital's rule 有叙述正确吗? 因为它的一个前提是 " f(x) and g(x) are differentiable and g'(x)≠0 near a (except possibly at a) " : iii) lim f'(x)/g'(x) 存在 : x->a : 才会有 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) 的关系。 : x->a x->a 所以求 lim f'(x) 和求 f'(a) 是同一件事情 ??? x→a : x : 现在 f(x)=∫ cos(t^2)dt 及 g(x)=x，要用罗必达算 lim f(x)/g(x) : 0 x->0 : i) lim f(x) = 0 且 lim g(x) = 0 ∴满足 : x->0 x->0 : ii) g(x) 处处可微，但 f(x) 可微吗? : 照定义, 求 lim [f(h)-f(0)] / h : h->0 : h : = lim [∫ cos(t^2)dt ] / h : h->0 0 : 咦, 这不就是题目本身吗? 请注意我上面所标示的黄色字 : 由 FTC = cos(x^2) | : |x=0 : = 1 : 写完收工，iii) 完全没必要做下去 你确定你真的在使用 LHR 吗 .... (抱歉请容许我使用简写) 使用 LHR 後应该会推得要解 lim f'(x) x→0 你是由 LHR 的哪一个核心概念，可以从 f'(0) 推得 lim f'(x) x→0 再从 lim f'(x) 推得 f'(0) x→0 然後说使用 LHR 是白费功夫? : 继续做可以吗？ 可以 : 答案会一样吗？ 会 : 只不过答案早就求出了，继续做下去也没什麽意思。 : : 有人说这样算是在绕远路 : 精确来说并非绕远路，是你早就经过目的地，但没发现。 : 就像想从台北搭火车到台中，虽然不太知道怎麽搭， : 但记得之前常常从台南搭到台中，购票简单路程又短，於是你就打算先搭到台南再转车。 : 不料，火车经过台中时你竟然没看出来，没下车， : 开开心心坐过头，然後再从台南坐回台中，如此而已。 对我而言是几步的距离，也可以是遥不可及的距离 你要这样子想 LHR 和 FTC for some special cases 当然可以 因为我来就无权干涉您怎麽去看待这方面的事情 所以你举这个形容代表说 用LHR算原问题 , 对你而言是如此艰辛吗 ? 恩, 我我明了了 所以呢 ? : : 或许在其思考中，中间有一段是出现以下的思考程序: : : f'(x) ──┬─→ A ──┬─→ f'(0) : : │ │ : : └─→ B ──┘ : : A 是直接带 x=0 过去， B 则是利用连续性过去 (举例) : : 这样的平行思考路线，若觉得 B 的方法太绕路了 : : 自己要把 B 的思考链砍掉当然ok阿，因为那是自己本身的考量所致 : : 但有人就是会觉得走 B 路线，对他自己本身而言比较方便 : : 甚至有人想把 A路线砍掉 : : 只要别犯了循环论证之类的错误 也无不可 : : 例如 某某人会觉得不论 input 是啥，只要可以 work : : 我只要走路线 B 就好 : : 何需每次计算的时候，还要先花时间判断 路线A 的前置条件是否成立 : 就这题而言，路线B能通的前提就是路线A....因此底下有点引喻失当 你把整个图画出来就知道了 可以画很细、也可以画很粗浅 但至少我相信中间会有 "feedback network" 不会像我前面举的那麽简单就是了 : : 这就好比像是 : : 若今天有一个软体可以解 lim (f/g) : : 假设有一个大型程式需要解上述问题 100万次好了 : : 有人会把程式写成 if( (f(0)==0) & (g=x) ) then 微分定义 : : else 罗必达 : : 某某人就是会觉得每次都要先判断, 导致多出了一百万次判断的时间 : : 说不定这一百万笔问题，有 99.xx万笔问题得须藉助罗必达来解决 : : 那干嘛这一百万笔资料不全用 罗必达 来算来比较省时间? : 充其量省开发时间而已，执行时的时间复杂度分析起来未必。 您真的会软硬体方面的时间分析吗 ? 我这样子说没有恶意 可是即使是我前一篇文章举的那个看似无用的 method B 有时候加了之後，速度反而会比没加还要来的 "快" 所以不要觉得加了一个看似没用的 method B 就觉得会拖累整个运算时间 但重点是 LHR 它并非扮演着 我所谓 method B 的角色 对真实应用来说 我连 method B 都不觉得它哪里多余了 何况是 LHR 对原问题而言 ? : 最後还是要提一下，这是比较"数学"的看法， : 这里毕竟为了转学考试，以做得快做得正确为第一， : 现在题目也很少要你去检查是否符合罗必达的前提。 <1> 用一个 thm. 前本来就该检查其前置条件 考试归考试，自己心里应当要有这样的认知 <2> 若讲这麽多您只是想把范围局限到 笔试 那我的认为是 通常 "算的快" 和 "做的正确" (或讲精确点是 "做的严谨") 两者会是 trade-off 若您觉得使用 LHR 是比较快的做法，但却是不严谨的做法 您大可不要使用 (或是若我有误解您的意思请见谅) 至少对我而言，我不会因为 case 的差异就偏废任何一方 但看了很多大大们的推(回)文 好像都认为 LHR 对原问题来说 LHR 是比较慢的作法 (或讲精确点，要转比较多的弯) 我还是那两句话(意思): <1> 是能有多弯，可以让你弯到从台中过台南 再从台南过台中? <2> 两个不同的 concept, 有人想因 case 的差异而偏废一方 但为何我要跟着一起偏废 ? : : (当然若 微分定义 的算法比 L'H. 算法还 "快" 多了, 那得须另外讨论 ) : : 对硬体而言 : : 上述作法还要多浪费一个 多工器 + equivalence checking + ... 的成本 : : ---------- : : 讲到最後，我自己也不知道结论是啥.... --

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