作者yhliu (老怪物)
看板trans_math
标题L'Hopital's rule
时间Fri Dec 23 02:02:18 2011
[1] f(a)=g(a)=0, f, g 在 x=a 可微, 且 g'(a)≠0,
则 lim f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)
x→a
其证明很简单, 就是导数定义+极限的除法律:
lim f(x)/(x-a)
lim f(x)/g(x) = ---------------- = f'(a)/g'(a)
x→a lim g(x)/(x-a)
因此, 当 g(x)=x-a 时, 难道还要把 f(x)/(x-a) 写
成 [f(x)/(x-a)]/[(x-a)/(x-a)]? 即使如此,也避免
不了 lim f(x)/(x-a) = f'(a) 这个定义的事实.
x→a
[2] 若
1) lim f(x) = 0 = lim g(x) 或 lim g(x) = ±∞
x→a x→a x→a
2) f, g 都在 a 的某个邻域, 除 a 点本身以外,
可微分.
3) lim f'(x)/g'(x) 存在, 或等於 ±∞
x→a
则 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
x→a x→a
这个定理的证明实际上要分 0/0 与 */∞ 两种情形,
其证明要大概找高等微积分教本才有.
若 g(x)=x-a, f(a)=0 或 lim f(x) = 0,
x→a
那麽 lim f(x)/(x-a) 应该用 L'Hopital's rule 吗?
x→a
甚至, 补上 f(a)=0 的定义, 而说 lim f(x)/(x-a)
x→a
是 f'(a) 的定义,不比套用 L'Hopital's rule 更恰
当吗? 在此情形, 若 f'(a) 不存在, 所求极限存在?
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