※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : ※ 引述《min102257 (昵称)》之铭言： : : 三. : : 2n 2 : : 2 (n!) : : lim -------------- = ? : : n->00 (2n)! n^0.5 : : 答案 是趋近无限大 吗? : 这是初微还是工数的...刚刚去查了Stirling's formula就秒杀了 : Stirling's formula 告诉我们 : n! : lim ─────────── = 1 令作 f(n) : n→∞ (2πn)^(1/2) * (n/e)^n : 不难证明 lim f(2n) = 1 (idea：n够大，2n也够大) : n→∞ : and lim (f(n))^2 = 1 (idea：x^2在x=1是连续的，极限可互换) : n→∞ : 考虑 (f(n))^2 / f(2n) : 消一消会发现刚好等於 原题目/(π^(1/2)) : 而 (f(n))^2 / f(2n) → (1^2)/1 = 1 as n→∞ : 所以原题目 goes to π^(1/2) 很不幸地 1730年的Stirling公式 正好就是用1665年的Wallis公式, 也就是本题 来证明的 Proof of Wallis' formula: 当0＜x＜π/2 , 2n+1 2n 2n-1 0＜sin (x)＜sin (x)＜sin (x) 故 0＜ I ＜ I ＜ I 2n+1 2n 2n-1 π/2 n n+1 π/2 π/2 n-2 2 where I ＝∫ sin (x) dx ＝(-sin (x)cos(x))│ ＋(n－1)∫ sin (x) cos (x) dx n 0 0 0 ↖ ＝0 π/2 n-2 2 ＝(n－1)∫ sin (x) (1－sin (x)) dx 0 ＝(n－1) I － (n－1) I n-2 n n－1 n－1 n－3 ＝ ─── I ＝ ─── ─── I n n-2 n n－2 n-4 (n－1)!! π ──── ─ , n偶数 ( n!! 2 ＝｛ ( (n－1)!! ──── , n奇数 n!! 0＜ I ＜ I ＜ I 2n+1 2n 2n-1 => (2n)!! (2n－1)!! π (2n－2)!! ───── ≦ ───── ─ ≦ ───── (2n＋1)!! (2n)!! 2 (2n－1)!! 2n (2n－1)!! 2 ─── ≦ ( ───── ) nπ ≦1 2n＋1 (2n)!! (2n－1)!! 2 由夹挤定理, lim ( ───── ) nπ ＝ 1 n→∞ (2n)!! (2n)!! 2 1 也就是 lim ( ───── ) ─ ＝ π n→∞ (2n－1)!! n n 注意 (2n)!! ＝ 2×4×6×...×(2n)＝2 (n!) (2n)! (2n)! (2n－1)!!＝ ─── ＝ ──── (2n)!! 2^n (n!) => 2n 2 2 (n!) 2 1 lim ( ──── ) ─ ＝ π n→∞ (2n)! n 两边开根号 2n 2 2 (n!) ＿ lim ────── ＝ √π n→∞ (2n)! √n --

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