作者CDnow (冷冻中)
看板trans_math
标题Re: [积分] 政大考古题 一题积分
时间Sun Jul 4 01:08:15 2010
原题：∫√(xsinx)dx 下限0 上限pi/2
利用积分均值定理：
b
∫ f(x)dx = f(c)(b-a)
a
b b
→ ∫ f(x)g(x) = f(c)∫ g(x)dx
a a
利用Beta积分格式：
1
∫x^(p-1)(1-x)^(q-1)dx = B(p,q)
0
令 x = sin^2 θ, dx = 2sinθcosθdθ
2pi
则 B(p,q)= 2∫ (sinθ)^(2p-1) (cosθ)^(2q-1)dθ
0
2pi 1 Γ(p)Γ(q)
得 ∫ (sinθ)^(2p-1) (cosθ)^(2q-1)dθ = ───────
0 2 Γ(p+q)
然後取 f(x) = √x
pi/2 │pi/2
√c = 2/pi ∫ √x dx = 2/pi * 2/3 * x^(3/2) │
0 │0
= 2/pi *(pi/2)^(1/2)
pi/2
再看 ∫ √(sinx)dx = 依照上述是为 p=3/4，q=1/2
0
pi/2
最後得原题 ∫ √(x*sinx)dx
0
pi/2
= √c∫ √(sinx)dx 结合上述
0
Γ(3/4)Γ(1/2)
= 2/3 * (pi/2)^(1/2) * 1/2 * ────────
Γ(5/4)
大概就是这样吧，不知道有没有打错的地方，
我不太清楚这种是叫数值解还解析解XDD
解答来源相信应该不少人知道＝ˇ＝
这种题目当场做应该没有几个人做得出来吧？（好啦我承认我想不到..）
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.25.0.199
※ 编辑: CDnow 来自: 114.25.0.199 (07/04 01:09)
1F：→ yyc2008:解答来源是哪里? 122.124.103.61 07/04 05:08
2F：→ yyc2008:文中利用积分均质定理 →上一段的c确定和 122.124.103.61 07/04 05:19
3F：→ yyc2008:→那一段的c是相同的吗? 这个令人怀疑 122.124.103.61 07/04 05:20
4F：→ CDnow:来源就是..王博老师的头脑@@" 114.25.0.110 07/04 06:03
5F：→ CDnow:积分均值那个是代表类推 不是代表相同 114.25.0.110 07/04 06:04