※ 引述《lililiu (lily)》之铭言： : 已知f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y) : g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y) : g(x)^2-f(x)^2=1 : 试证 g(-x)=g(x) f(-x)=-f(x) : 其实不关微积分的事耶@@ : 只是想了一整天也证不出来 : 请各位大大教教我 --- ┌ f(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(y) └ g(x+y) = g(x)g(y) + f(x)f(y) 两式相加: f(x+y) + g(x+y) = [f(x)+g(x)][f(y)+g(y)] ____(1) 将 (1)式的 (x,y) transform 到 (x+y,-y) 可以得到: f(x) + g(x) = [f(x+y)+g(x+y)][f(-y)+g(-y)] ____(2) 接着 (1)(2) 式相乘: [f(y)+g(y)][f(-y)+g(-y)] = 1 → f(y) + g(y) = g(-y) - f(-y) by the fact that g(-y)^2 - f(-y)^2 = 1 → f(y) + f(-y) = g(-y) - g(y) 所以存在一函数 h(t) 使得 h(t) = f(t) + f(-t) = g(-t) - g(t) 接着就是讨论 h(t) 的特性: 由 h(t) = f(t) + f(-t) 可知 h(t)=h(-t) 由 h(t) = g(-t) - g(t) 可知 h(t)=-h(-t) 因此 h(t)=0 for all t in that domain → ┌ f(t) = -f(-t) └ g(t) = g(-t) ---- 补述一下 (1)(2)式相乘後 原本会得到 z(x,y) = z(x,y)[f(y)+g(y)][f(-y)+g(-y)] 其中 z(x,y) = [f(x)+g(x)][f(x+y) + g(x+y)] 要推论到 [f(y)+g(y)][f(-y)+g(-y)] = 1 的先决条件是 z(x,y)≠0 所以要根据题目给的 g(x)^2 - f(x)^2 = 1 来说明 z(x,y) 不可能会等於 0 算是小细节要注意的地方 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151 ※ 编辑: doom8199 来自: 140.113.141.151 (03/12 16:41)