作者keith291 (keith)
看板trans_math
标题Re: [积分]
时间Tue Dec 8 01:01:13 2009
※ 引述《air11 (iNCCU)》之铭言：
: 想请教几题不定积分
: 1. ∫(x^4)*sqrt(1+(x^2)) dx
∫(x^4)√(1 + x^2) dx =(x^3)(1/3)(1 + x^2)^(3/2)-∫(x^2)(1 + x^2)^(3/2)dx
=(x^3)(1/3)(1 + x^2)^(3/2)
-[(x)(1/5)(1 + x^2)^(5/2) -∫(1/5)(1 + x^2)^(5/2)dx]
=(x^3)(1/3)(1 + x^2)^(3/2) - (x)(1/5)(1 + x^2)^(5/2)
+ (1/35)(1 + x^2)^(7/2) + C
: 这题我首先令x=tanθ
: 故原式会变成 ∫ (tanθ)^4 * (secθ)^3 dθ
: 接下来我想好久
令 u = secx + tanx
则 1/u = secx - tanx
du = secx(secx + tanx)dx
= ((u + 1/u)/2)(u)dx
2
故dx=---------du 且sec x = (u + 1/u)/2 tan x=(u - 1/u)/2
u^2 + 1
1 sec x
已上积分方法可以将大多数带有三角函数的分式(ex ------- = ----------- 然後代换 )
1+sinx secx +tanx
化成有理函数积分 进而可以用部份分式法处理
不用再想要如何凑同乘某神奇因子或多次分部积分的方法(ex 积(secx)^n )
: 顺便请教一下
: 我们知道有些不定积分，是无论用什麽办法都积不出来的
: 例如：∫e^(x^2) dx , ∫(sinx)/x dx
: 这些都是一般课本常见的
: 我想问的是
: 要怎麽判断某些积分是跟上述的情形一样
: 怎麽积就是没有结果？
经验
或者你可以适当变数变换加上分部积分进而推导出已知不可积的式子
那原式积分出来就不可表达成初等函数
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◆ From: 61.228.97.19
※ 编辑: keith291 来自: 61.228.97.19 (12/08 01:04)
1F：→ yyc2008:呵呵 你时常宣传sec + tan = u的好处XD122.124.105.220 12/08 01:10
2F：→ keith291:其实那是复制我之前打的文章XD 61.228.97.19 12/08 01:15
3F：→ keith291:不过 也是因为我真的觉得满妙的 61.228.97.19 12/08 01:16
4F：→ keith291:当初学到之前没想到可以这样用 61.228.97.19 12/08 01:16
5F：→ yyc2008:真得要拜平方差的公式 让特定积分可系统有122.124.105.220 12/08 01:20
6F：→ yyc2008:理化 三角有三组 hyperbolic也有三组122.124.105.220 12/08 01:21
7F：→ yyc2008:有时候真得还蛮好用的122.124.105.220 12/08 01:21
8F：推 r19891011:如果x^4换成((1+x^2)-1)^2, x=tanθ 140.112.66.7 12/08 13:47
9F：→ r19891011:这样原式=∫sec^7-2sec^5+sec^3 dθ 140.112.66.7 12/08 13:50
10F：→ r19891011:再用H大或K大的方法算也可以 140.112.66.7 12/08 13:51
11F：→ air11:u = secx + tanx这招好厉害 XD 这是大大 218.167.66.6 12/08 20:22
12F：→ air11:自己创出来的吗？超强的啦！ 218.167.66.6 12/08 20:22