作者Honor1984 (希望愿望成真)
看板trans_math
标题Re: [积分] 一题经典题
时间Sat Sep 26 00:44:10 2009
※ 引述《jason90023 (Ray allen Iverson)》之铭言：
: ∞ x^3
: ∫ ----------dx=pi^4/15
: 0 e^3 + 1
e^(x) + 1才对
题目打完後再检查一遍很困难吗?
如果有人好心想要帮你解答这些问题
到头来发现原来题目根本就是错的
这样不是很浪费别人的时间吗?
丢个题目走人之前
请回过来头检查有没有打错
: 後来算到级数的sum 1/n^4就卡住了@@
: 不知道要怎麽算出他是pi^4/90
∞ x^3
∫ ----------dx
0 e^x + 1
x^3e^(-x)
= ∫ ------------ dx
1 + e^(-x)
= -∫ Σx^3*e^(-kx) de^(-x)
k=0
e^[(-k-1)x] 3x^2*e^[(-k-1)x]
= - Σx^3*-------------- + Σ∫ ---------------- dx
k+1 k+1
6 e^[(-k-1)x]
= Σ ∫ ----------- dx
(k+1)^3
- 6 e^[(-k-1)x] ∞
= Σ ----------------- [
k=0 (k+1)^4 0
6
= Σ ----------
k=1 k^4
= 6 ζ(4)
π^4
= ---------
15
如果没记错 这应该是Planck电磁辐射计算过程中可能会算到的积分
1
你如果要问Σ----这应该不是一般微积分技巧可以做出来的
k^4
可以的话 Bernoulli自己老早就做出来
因为这里是初微板 不想扯上复变的话
用复利叶级数方法就有几种可以求得这个和
例如f(x)=x^2或者锯齿形状的函数都可以
但是我蛮好奇有考试会这样出的
照理说写到6ζ(4)应该就可以了
这个题目应该要给ζ(4)
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◆ From: 122.124.107.163
※ 编辑: Honor1984 来自: 122.124.107.163 (09/26 00:44)
1F：推 aacvbn:这种就不帮他 还什麽经典题 我看手残问题吧 163.22.18.76 09/26 00:46
2F：推 jason90023:...抱歉啦我没有不检查 真的是眼残 115.165.233.4 09/26 08:46
3F：推 jason90023:感谢!!! 115.165.233.4 09/26 08:51
4F：推 zptdaniel:他至少比以前某个会故意打错题目还说没 118.233.43.76 09/26 10:00
5F：→ zptdaniel:错误的家伙好 118.233.43.76 09/26 10:00
6F：→ zptdaniel:不过那家伙已经消失很久了 118.233.43.76 09/26 10:00
7F：→ Honor1984:OK 那以後请注意 才一行积分而已... 122.124.103.86 09/26 15:44
8F：推 XII:用棣美弗和夹挤就可以算Σ(1/k^4)了~118.166.194.183 09/27 18:12
※ 编辑: Honor1984 来自: 122.124.105.176 (09/27 18:20)
9F：→ Honor1984:可以请楼上把做法贴上来吗?我也想知道~~122.124.105.176 09/27 19:45
10F：推 midarmyman:推1984 140.117.198.78 09/27 22:30