※ 引述《GLP (^__________^)》之铭言： : 求曲面 xy=z 及两平面 x+y+z=1, z=0所夹部分之体积 曲面记为S 平面记为P 两式解联立得 x＋y＋xy＝1 故交集处投影至xy平面上为 x＋y＋xy＝1 -> (x＋1)(y＋1)＝2 , 双曲线 我们要的是 0≦x≦1 , 0≦y≦1 的部份 记这曲线线段为 C 而 (0,1) 至 (1,0) 之直线段记为 L 曲面S 在原点附近时的z值很小 可知此时S在下 P在上 xy平面上, C与L夹的区域内 , 已过了交集部分 , S在上 P在下 这两区域分别记为 D D 1 2 故所求为 ∬ xy dA ＋ ∬ 1－x－y　dA D D 1 2 －－－－－－－－－－－－－－－－ 2 1－y 曲线C: (x＋1)(y＋1)＝2 x＝──－1＝── y＋1 1＋y 1－y 2－u 为方便, 取u＝y＋1 , x＝── ＝ ── 1＋y u －－－－－－－－－－－－－－－－ 2－u ── 2 u 2 2－u ＝∫ ∫ x(u-1) dx du ＋ ∫ ∫ 2－u－x dx du 1 0 1 2－u ── u 2 2 2 2 2 (2－u) (u－1) 2 (2-u) 2 (2－u) (2－u) ＝∫ ────── du ＋∫ － ─── ＋ (2－u) ＋ ─── － ─── du 1 2u^2 1 2 2u^2 u 2 2 2 2 u －4u＋4 (2－u) 2(2－u) ＝ ∫ ───── ＋ ──── － ──── du 1 2 2u 2u 2 2 2 u －4u＋4 ＝1/2 ∫ u －4u＋4 － ───── du 1 u 2 2 4 ＝1/2 ∫ u －5u＋8 － ─ du 1 u 17 ＝ ─ － 2㏑2 12 _ --

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