作者arbitrager (自由之身)
看板trans_math
标题Re: [积分] 定积分
时间Sun Jan 11 00:17:58 2009
※ 引述《bard3 (吟游诗人)》之铭言：
: pi
: 试定a,b的值, 使定积分 ∫ (1-asinx-bsin2x)^2 dx 的值
: 0
: 为最小
pi
(sol) ∫ (1-asinx-bsin2x)^2 dx
0
pi
= ∫ (1-2asinx-2bsin2x+a^2 sin^2 x +2absinxsin2x + b^2 sin^2 2x) dx
0
pi
= ∫ {1-2asinx-2bsin2x + a^2/2(1-cos2x)+ ab(cosx-cos3x)+b^2/2(1-cos4x)}dx
0
pi
= [x+2acosx+bcos2x+a^2/2(x-sin2x/2)+ab(sinx-sin3x/3)+b^2/2(x-sin4x/4)]|
0
= pi-4a+(a^2/2)pi+(b^2/2)pi
= (a-4/pi)^2 + (pi/2)b^2 + pi-8/pi --(*)
由 (*) 可知取 a=4/pi, b=0 时有最小值 pi-8/pi
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一切伟大的行动或思想都是
由一个微不足道的意念产生
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◆ From: 140.112.7.59