※ 引述《Hseuler (蓝色狸猫)》之铭言： : ※ 引述《Qmmm (QM量子力学MM分子力学)》之铭言： : : 请问 : : l i m sinx : : ------ = 1 除了画图证明外 可以用展开式吗？谢谢 : : x-> 0 x : 费尔兹奖得主小平邦彦在他的初等微积分着作 : 不是用画图的方法证明 : 原因是他用严格的旋转概念定义三角函数 : 我把整段抄下来 : 先引进一个引理 : 假设数列{An}, : An>0是收敛於0的单调递减数列，则交错级数 : A1-A2+A3-A4+A5.......... : 收敛.如果其和设为S,部分和设为 : S(n)=A1-A2+A3-A4+.....+(-1)^(n+1)An : 则S(2n-1)>S>S(2n) : 有了这个引理後 : sinh/h=1-h^2/3!+h^4/5!-h^6/7!+... : 当 : 0<|h|<1时 : 此式右边的交错级数的各项绝对值构成的数列 : {h^2n/(2n+1)!}单调递减且收敛於0 : 由引理得到 : 1-h^2/6 < sinh/h < 1 ,0<|h|<1 : 故 lim sinh/h=1 : h->0 : Q.E.D. 这是很好、很精辟的一种想法。 我想问一个很现实的问题：这在考试当中有多少人(老师)会承认这样的证法是OK的？ 我想到以前修高微，我这样证大概根本就在找死..... 在考试的时候老师根本不知道你会不会证那个引理， 然後，sinh/h=1-h^2/3!+h^4/5!-h^6/7!+... 请问这是背马克劳林来的吗？ 如果是的话，嗯....前面有位大大说过，微分都还没证，那.... 循环证明？ 绝对收敛那边还可以写个证明出来...... 用那麽多虽然正确但需要证明的式子在考试上....妥当吗？是不是有点本末倒置。 画个图，简单易懂才是比较恰当吧。 (迷之语：其实我觉得要用展开式算出答案，不只一种方法，函数具有组合性质， 看你拿什麽当定义，什麽当引理而已。) --

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