作者Hseuler (蓝色狸猫)
看板trans_math
标题Re: [极限]
时间Tue Dec 23 20:58:55 2008
※ 引述《Qmmm (QM量子力学MM分子力学)》之铭言：
: 请问
: l i m sinx
: ------ = 1 除了画图证明外 可以用展开式吗？谢谢
: x-> 0 x
费尔兹奖得主小平邦彦在他的初等微积分着作
不是用画图的方法证明
原因是他用严格的旋转概念定义三角函数
我把整段抄下来
先引进一个引理
假设数列{An},
An>0是收敛於0的单调递减数列，则交错级数
A1-A2+A3-A4+A5..........
收敛.如果其和设为S,部分和设为
S(n)=A1-A2+A3-A4+.....+(-1)^(n+1)An
则S(2n-1)>S>S(2n)
有了这个引理後
sinh/h=1-h^2/3!+h^4/5!-h^6/7!+...
当
0<|h|<1时
此式右边的交错级数的各项绝对值构成的数列
{h^2n/(2n+1)!}单调递减且收敛於0
由引理得到
1-h^2/6 < sinh/h < 1 ,0<|h|<1
故 lim sinh/h=1
h->0
Q.E.D.
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