※ 引述《chingyes (axsazxc)》之铭言： : http://0rz.tw/455fB : http://0rz.tw/575dF : http://0rz.tw/eb5cu : http://0rz.tw/115cN : http://0rz.tw/f359H : 以上5题是小弟挑出来的经典难题 : 希望有神人可帮个1.2题@@ -------------------------------------------- 1.http://0rz.tw/455fB dx = (1/v)du + (-u/(v^2))dv dy = 0 + 1 dv ∴|J|= (1/v) 又 1 ≦xy≦ 2 and x ≦y≦ 4x ∴ 1 ≦u≦ 2 and (√u) ≦v≦ 2(√u) ─> C=1 D=2 2 2(√u) u ∫ ∫ ─── dv du = 1.5(㏑2) 1 (√u) v 2.http://0rz.tw/575dF 将 sin2θ 的图 画出来，会发现 0.5π─>π 和 1.5π─>2π 其面积为负， 所以，想求 |sin2θ| 的面积，需先将 这两个区域的图 翻上来， 由图中可以发现，所求面积 = 4 x (0─>0.5π的面积) 0.5π = 4 ∫ sin2θ dθ = 4 0 3.http://0rz.tw/eb5cu (1) y(1)=a+b+c+d=1 y(2)=8a+4b+2c+d=-1 y'(1)=3a+2b+c=0 y''(2)=12a+2b=0 ─> a=1 b=-6 c=9 d=-3 (2) 1>先找出偏微分=0的点 f对x偏微分 = -2x+2=0 f对y偏微分 = 12-3(y^2)=0 解得 (x,y,f(x,y)) = (1,2,16) 或 (1,-2,-16) 2>检查 谁是 saddle point，谁是极值点 │ (f对x偏微2次) (f对x偏微1次，再对y偏微1次)│ D = │ │ │(f对y偏微1次，再对x偏微1次) (f对y偏微2次) │ │ -2 0 │ = │ │ = 12y │ 0 -6y │ D(1,-2)=-24<0 ∴(1,-2,-16) 是 saddle point 非极值点 D(1,2)=24>0 且 (f对x偏微2次)(1,2)=-2<0 ∴是 极大值点 ─> a=1 b=2 c=16 a+b+c=19 (3) a1 = 2i+j-k a2 = i-j+3k │ i j k │ ∴a1×a2 = │ 2 1 -1 │= 2i-7j-3k │ 1 -1 3 │ 设点(x,y,z)在所求的平面上，则 {(x-1)i+(y-(-1))j+(z-4)k}˙(2i-7j-3k) =0 ─> 2(x-1)-7(y+1)-3(z-4)=0 4.http://0rz.tw/115cN 距离=d={(x- 3/4)^2 + (y- 10/9)^2}^0.5 设 f = (x- 3/4)^2 + (y- 10/9)^2 ψ= 3x-2(y^2)=0 有极值产生时，代表 f和ψ两曲线相接触， 且接触点的两个法线向量互成一比例值 (-λ) ▽f(x,y) = -λ▽ψ(x,y) ─> ▽f(x,y) +λ▽ψ(x,y) =0 ▽f(x,y)= 2(x- 3/4)i + 2(y- 10/9)j ▽ψ(x,y)= 3i + (-4y)j 即 2(x- 3/4)+λ(3)=0 2(y- 10/9)+λ(-4y)=0 λ= -(2/3)x+0.5 = 0.5-(5/9y) 和 ψ= 3x-2(y^2)=0 联立 求得 x =(25/54)^(1/3) y=(5/4)^(1/3) 5.http://0rz.tw/f359H ∞ ∞ (1) ∫ 2exp(-2x) dx = - ∫ exp(-2x) d(-2x) 0 0 = - lim {exp(-2b)-1} = 1 b->∞ (2) f'(x) = (x^2) -2x-3 =0 f"(x) = 2x -2 =0 ∴ x=-1 极大值 , x=1 反曲点, x=3 极小值 f(-1)=17/3 , f(6)=22 ─> f(6)=22 最大值 f(3)=-5 , f(-2)=10/3 ─> f(3)=-5 最小值 --

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