作者Eliphalet (阿茂整饼)
站内trans_math
标题Re: [连续]
时间Wed Oct 15 13:15:07 2008
※ 引述《TaiwanFlight (飞翔吧 ,台湾!!)》之铭言：
: ※ 引述《Qmmm (．．Ｑ3Ｍ．．)》之铭言：
: : 题目:
: : sinx 1
: : 设f(x)= ---- , x ε (0,π] 试证存在一数c ε(0,π)使得f(c)= ---
: : x 2
: : =============================================================================
: : 我想问这题中间值定理不是要在闭区间连续吗?
: : 可是这题在(0,π] 连续
: : 所以有没有违反定理??怎麽说呢?
: : 如果没有可不可以用我的解法
: : 令F(x) = sinx/x - 1/2
: : 则 F(0) = lim x->0 sinx/x - 1/2 = 1/2 >0
: : {
: : F(π)= sinπ/π - 1/2 = -1/2 <0
: : 由中间值定理知
: : F(0)F(π)<0
: : 存在一数c ε(0,π)
: : 使得 F(c)=0 => sinc/c - 1/2 即 f(c) = 1/2
: : 因为王氏微积分说不能这样解...
: : 谢谢!
: 你的方法就如同以下方法,
: 创造一个函数满足以下两点
: 1. F(x) = sinx/x - 1/2 ,对所有的x不等於0
: 2. F(x) = 1/2 ,当x = 0
: 则可得知(可证明),F(x) 在 x属於|R时 连续.
: 因为 F(0)F(π)<0 ,由中间值定理可得到 存在一个实数c 属於[0,π], 使得 F(c)=0 ,
这里错 . c 是属於 (0,π) 你可以看以下定理
http://planetmath.org/encyclopedia/BolzanosTheorem.html
sin(c) 1 1
既然 c ≠ 0 , F(c) = -------- - ----- = 0 , 亦即 f(c) = ---
c 2 2
: 也就是说
: 存在一个实数c 属於(0,π], 使得 sin(c)/c = 1/2 ;或存在一个实数c=0使得F(c)=0
: 此时会碰到问题,因为後者成立,而前者无法得知是否会成立,
c is distinct from 0 , so F(c) = 0 implies f(c) = 1/2
後者可以得到前者啊 ?
: 所以并不能这样做,
: 也就是之前的推文 我错了.
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 122.127.98.183