作者yuchda (ssd)
看板trans_math
标题Re: [积分] 关於不定积分...
时间Mon Mar 31 12:28:31 2008
※ 引述《GBRS (业余数学家)》之铭言：
: ※ 引述《jeremyhcw (( ￣ c￣)y▂ξ)》之铭言：
: : 第一题改正为
: : ∫1/x(5x-6-x^2)^(1/2)dx
: : 取自 王博微积分
: 三角代换:
: 先将根号里面配方
: 5x-6-x^2
: =-6-(x^2-5x)
: =(1/2)^2-[x-(5/2)]^2
: 然後令x-(5/2)=(1/2)sinA,dx=(1/2)cosAdA
: =>dA=dx/(5x-6-x^2)^(1/2)
: 原式=∫dx/[(5/2)+(1/2)sinA]
: =2∫dA/(5+sinA)
: 最後用半角代换解即可...
令 x=1/t, dx=-1/t^2 dt 代回积分式, 可得
∫1/(x(5x-6-x^2)^(1/2))dx
=∫(-1/t^2)/{(1/t)[(5/t)-6-(1/t)^2]^(1/2)} dt
=-∫1/(5t-6t^2-1)^(1/2) dt
=-1/(6)^(1/2) ∫1/{(1/12)^2-(t-5/12)^2}^(1/2) dt
=-1/(6)^(1/2) ArcSin{(t-5/12)/(1/12)} +c
再将 t=1/x 代回上式即可
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