作者yhliu (老怪物)
看板trans_math
标题Re: [极限] 一题e的题目
时间Mon Feb 25 22:09:50 2008
※ 引述《killer01 (killer01)》之铭言：
: 算不太出来??
: 1/x
: e - (1+x)
: lim -----------
: x->0 x
ln[(1+x)^{1/x}] = (1/x)ln(1+x)
= (1/x)(x-x^2/2+O(x^3))
= 1 - x/2 +O(x^2)
[e - (1+x)^{1/x}]/x = [e - e^{1-x/2+O(x^2)}]/x
= e[1-e^{-x/2+O(x^2)}]/x
= e[1 -(1-x/2+O(x^2))]/x
= e(1/2+O(x))
→ e/2 as x→0
[另法]
By L'Hopital's rule,
e - (1+x)^{1/x}
----------------- ～ -(d/dx)(1+x)^{1/x}
x
(d/dx)(1+x)^{1/x}
= (1/x)(1+x)^{1/x -1} + (ln(1+x))(1+x)^{1/x}(-1/x^2)
= (1+x)^{1/x}{1/[x(1+x)] -(ln(1+x))/x^2}
x - (1+x)ln(1+x)
= (1+x)^{1/x} -------------------
x^2 (1+x)
x - (1+x)ln(1+x) 1 - ln(1+x) - 1 -1/(1+x)
------------------ ～ ------------------- ～ ---------- → -1/2
x^2 (1+x) 2x + 3x^2 2+6x
(1+x)^{1/x} → e
故
原式 = -[e(-1/2)] = e/2.
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