※ 引述《nimura14 (再见了，亲爱的。)》之铭言： : ※ 引述《yhliu (老怪物)》之铭言： : : For any ε>0, 你要证明 : : 存在 δ>0 使得 (0<|x-2|<δ ==> |x^2-4|<ε) : : 所以, 目标是要找出使 |x^2 - 4|<ε 的充分条件, 用 : : "0<|x-2|<δ" 表示. : : 由於 |x^2 - 4| = |x+2|‧|x-2|, 显然必须设法先控制 : : |x+2| 的大小, 以便能藉由控制 |x-2| 来控制 |x^2-4|. : : 由於谈的是 x→2, 因此不妨限制考虑范围 |x-2|<1, 即 : : 1<x<3. 这样限制的话, 保证 |x+2|<3, 从而 : ^^^^^^^^ : 1<x<3的话,那不是应该是 3<x+2<5, |x+2|<5 是这样吗? 对! 似乎当时已有人指正了? : 为什麽要取3? 我这边一直搞不懂 抱歉! 因头脑不清写错害你看不懂. 我以为那个错误很明 显看的人很容易可以自动修正的. : : |x^2 - 4| ≦ 3|x-2| : : 因此只要能保证 0<|x-2|<ε/3 且 |x-2|<1, 即能保证 : : |x^2 - 4|<ε. : : 给一个任意的e>0,就存在 d=d(e)>0 : 使得 当 0<|x-2|<d 的时候 |x^2-4|<e 这是你要证明的. : : |x^2 - 4| = |x+2|‧|x-2| < e ........... (1) : : 设|x-2|<1 => 1<x<3 => 3<x+2<5 => |x+2|<5 : : 5‧|x-2|< e => |x-2|< e/5 -----> d 代回去 (1) 里 ^^改成 "<==>". (Why?) ^^这个 d 是有点问题的. 另外, 这样的写法不好. 令 d = min{1,e/5} 则: 当 0<|x-2|<d 时得 : : |x^2 - 4| < 5‧e/5 => |x^2 - 4| < e 得证 ^^^^^^^^^^^^^^^^^ 直接 "=e" 就好了! 虽然你这样写也没错! : : : 上面是我自己写的 : 考试时这样写可以吗? : 我还是觉的有点怪怪的... : : 有那些地方有错或是有要修改的吗? : 烦请板上的高手们教育一下 谢谢 Q_Q : : 主要是 "5‧|x-2|< e => |x-2|< e/5 -----> d" 这叙述. (1) 我建议把 "=>" 改成 "<==>", 其实本来的推论是: 为了使 5|x-2|<e, 必须 |x-2|<e/5. 也就是说, 你需要的叙述是 5‧|x-2|< e <== |x-2|< e/5 (2) "e/5 -----> d" 这种 "示意" 符号不是通用的. 不同人, 不同场合可能用它来表示不同意思. 但 你的意思应是 "取 d=e/5", 为甚麽不这麽写? 而且後面那个 "代回..." 的说明也可以免了. 考试时, 一方面是时间限制, 另方面你写得太罗 唆阅卷者可能被弄混了. (3) 取 d=e/5 是不够的, 因为先前做了限制 |x-2|<1. 因此取 d=min{1,e/5}, 则 0 < |x-2| < d ==> |x-2|<1 且 0<|x-2|<e/5 要导出 |x^2-4|<e 需要同时满足上列右边两个条件. -- --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 163.15.188.87 ※ 编辑: yhliu 来自: 163.15.188.87 (01/24 15:09)