※ 引述《showwind (show)》之铭言： : : f(x)= 　0 　　　若x为有理数　 : : 　　 : : x-x^2 若x为无理数 : : 问　ｆ　在哪些点连续？ f 在 x=0 与 x=1 上面连续. 首先我先证明 f 不可能在 0, 1 之外的点连续. 假设 f 在 c 上连续, c≠0, c≠1. (1) c 是有理数. 根据实数的性质, 我们可以找一组无理数数列 a_n -> c. 因为 x-x^2 是实数上面的连续函数, 因此 lim f(a_n) = c-c^2≠0 = f(c). n->oo 所以 f 不在 x=c 上连续. (2) c 是无理数. 根据实数的性质, 我们可以找一组有理数数列 b_n -> c. 因此 lim f(b_n) = 0 ≠ c-c^2 = f(c), 所以 f 不在 x=c 上连续. n->oo 所以现在只有两种可能: f 在 1 或是 0 上连续. (1) 0. 给定 ε>0, 取 δ = 1/2 min{1,ε} > 0. 那麽当 0 < |x-0|<δ 的时候, 都有 |f(x)-f(0)| = 0 < ε if x in Q. = |x-x^2| < δ(δ+1)≦ε/2(1/2+1) < ε if x in R-Q. 所以 lim f(x) = f(0). 证完. x->0 (2) 1. 这个是与(1)类似的. : : THX~ : (1)连续条件: lim f(x) = f(c) : x->c : 根据实数的连续性:有理数与有理数之间必有无理数存在 : (2)设c为有理数 其周围必有两无理数 c1 < c < c2 : => lim f(x) = lim f (x) = lim x-x^2 = f(c) = 0 ︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿︿ : x->c1 x->c2 x->c : 无理数 无理数 无理数 有理数 : 解得 c = 0 or 1 这个为什麽会对？假设 c 是有理数好了, 的确, 会有两个无理数 c_1, c_2 满足 c_1 < c < c_2. 接着我们来考虑两个极限: lim f(x) = c_1 - c_1^2, lim f(x) = c_2 - c_2^2. x -> c_1, x -> c_2, x in R-Q x in R-Q. 假设 c 真的是 0 or 1, 一般而言, c_1 - c_1^2≠0, c_2 - c_2^2≠0. (例如我们取 c=0, c_1=-√2, c_2=√2). 并且你的答案是建立在 c in Q 去求的. 当然答案是对的. 但是你并未说明 c in R-Q 是求不出答案的. --

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